Repenser la bibliothèque réelle de Coq : vers une formalisation de l'analyse classique mieux adaptée

Reinventing Coq's Reals library : toward a more suitable formalization of classical analysis

• Auteur / Autrice : Catherine Lelay
• Direction : Sylvie Boldo, Guillaume Melquiond
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 15/06/2015
• Etablissement(s) : Paris 11
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Informatique de Paris-Sud
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de recherche en informatique (Orsay, Essonne ; 1998-2020)
• Jury : Président / Présidente : Nicolas Thiéry
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sylvie Boldo, Guillaume Melquiond, Nicolas Thiéry, Yves Bertot, Herman Geuvers, Nicolas Brisebarre, César Muñoz
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Yves Bertot, Herman Geuvers

Mots clés

Mots clés contrôlés

Coq (logiciel)

Baccalauréat

Analyse mathématique

Mots clés libres

Preuve formelle

Assistant de preuve Coq

Analyse réelle

Analyse mathématique

Formal proof

Coq proof assistant

Real analysis

Mathematical analysis

Résumé

L'analyse réelle a de nombreuses applications car c'est un outil approprié pour modéliser de nombreux phénomènes physiques et socio-économiques. En tant que tel, sa formalisation dans des systèmes de preuve formelle est justifié pour permettre aux utilisateurs de vérifier formellement des théorèmes mathématiques et l'exactitude de systèmes critiques. La bibliothèque standard de Coq dispose d'une axiomatisation des nombres réels et d'une bibliothèque de théorèmes d'analyse réelle. Malheureusement, cette bibliothèque souffre de nombreuses lacunes. Par exemple, les définitions des intégrales et des dérivées sont basées sur les types dépendants, ce qui les rend difficiles à utiliser dans la pratique. Cette thèse décrit d'abord l'état de l'art des différentes bibliothèques d'analyse réelle disponibles dans les assistants de preuve. Pour pallier les insuffisances de la bibliothèque standard de Coq, nous avons conçu une bibliothèque facile à utiliser : Coquelicot. Une façon plus facile d'écrire les formules et les théorèmes a été mise en place en utilisant des fonctions totales à la place des types dépendants pour écrire les limites, dérivées, intégrales et séries entières. Pour faciliter l'utilisation, la bibliothèque dispose d'un ensemble complet de théorèmes couvrant ces notions, mais aussi quelques extensions comme les intégrales à paramètres et les comportements asymptotiques. En plus, une hiérarchie algébrique permet d'appliquer certains théorèmes dans un cadre plus générique comme les nombres complexes pour les matrices. Coquelicot est une extension conservative de l'analyse classique de la bibliothèque standard de Coq et nous avons démontré les théorèmes de correspondance entre les deux formalisations. Nous avons testé la bibliothèque sur plusieurs cas d'utilisation : sur une épreuve du Baccalauréat, pour les définitions et les propriétés des fonctions de Bessel ainsi que pour la solution de l'équation des ondes en dimension 1.

Real analysis is pervasive to many applications, if only because it is a suitable tool for modeling physical or socio-economical systems. As such, its support is warranted in proof assistants, so that the users have a way to formally verify mathematical theorems and correctness of critical systems. The Coq system comes with an axiomatization of standard real numbers and a library of theorems on real analysis. Unfortunately, this standard library is lacking some widely used results. For instance, the definitions of integrals and derivatives are based on dependent types, which make them cumbersome to use in practice. This thesis first describes various state-of-the-art libraries available in proof assistants. To palliate the inadequacies of the Coq standard library, we have designed a user-friendly formalization of real analysis: Coquelicot. An easier way of writing formulas and theorem statements is achieved by relying on total functions in place of dependent types for limits, derivatives, integrals, power series, and so on. To help with the proof process, the library comes with a comprehensive set of theorems that cover not only these notions, but also some extensions such as parametric integrals and asymptotic behaviors. Moreover, an algebraic hierarchy makes it possible to apply some of the theorems in a more generic setting, such as complex numbers or matrices. Coquelicot is a conservative extension of the classical analysis of Coq's standard library and we provide correspondence theorems between the two formalizations. We have exercised the library on several use cases: in an exam at university entry level, for the definitions and properties of Bessel functions, and for the solution of the one-dimensional wave equation.