KLR algebras and quiver Schur algebras

Algèbres KLR et algèbres de carquois-Schur

• Auteur / Autrice : Ruslan Maksimau
• Direction : Eric Vasserot
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2015
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité

Mots clés

Mots clés contrôlés

Hecke, Algèbres de

Groupes quantiques

Algèbre

Mots clés libres

Faisceaux de parité

Base canonique

Représentation catégorique

Algèbre de carquois-Shur

Résumé

Dans la première partie de la thèse on construit une base de la partie positive f de l'algèbre quantique de Drinfeld-Jimbo associée à un carquois de Dynkin. Cette base est donnée par des faisceaux de parité en caractéristique quelconque. De plus, on catégorifie la multiplication et la comultiplication dans f avec des complexes de faisceaux. Dans la deuxième partie il s'agit de la dualité de Koszul. Stroppel et Webster ont introduit une graduation sur la q-algèbre de Schur cyclotomique S. On démontre que l'algèbre graduée obtenue est Morita équivalente (au sens gradué) à une algèbre de Koszul. La preuve est basée sur le résultat de Rouquier, Shan, Varagnolo et Vasserot qui identifie la catégorie mod(S) avec une catégorie O affine parabolique de type A. Cette catégorie admet une graduation de Koszul construite par Shan, Varagnolo et Vasserot. On identifie cette graduation avec la graduation sur mod(S). Dans la troisième partie de la thèse on étudie une représentation catégorique dans la catégorie O parabolique pour la version affine de gl(N) de niveau -N-e. Cette catégorie admet une structure de représentation catégorique de sl(e) affine avec des foncteurs E et F. Che vma Cette catégorie contient une sous-catégorie plus petite A qui catégorifie l'espace de Fock de niveau supérieur. On démontre que le foncteur F pour la catégorie A de niveau -N-e se décompose en terme de composantes du foncteur F pour la catégorie A de niveau -N-e-1. Pour démontrer cela, on construit un isomorphisme entre l'algèbre KLR associée au carquois cyclique à e points et un sous-quotient de l'algèbre KLR associée au carquois cyclique à e+1 points.

In the first part of the thesis we give a construction of a basis of the positive part f of the Drinfeld-Jimbo quantum enveloping algebra associated with a Dynkin quiver. This basis is given in terms of parity sheaves over fields in any characteristic. We also categorify both the multiplication and the comultiplication of f via complexes of sheaves. The second part deals with Koszul duality. Stroppel and Webster have introduced a grading on the cyclotomic q-Schur algebra S. We prove that the obtained graded algebra is graded Morita equivalent to a Koszul algebra. The proof is based on a result of Rouquier, Shan, Varagnolo and Vasserot that identifies the category mod(S) with a subcategory of an affine parabolic category O of type A. This subcategory admits a Koszul grading constructed by Shan, Varagnolo and Vasserot. We identify this Koszul grading with the grading on mod(S). In the third part of the thesis we study a categorical representation in the parabolic category O for affine gl(N) at level -N-e. This category admits a structure of a categorical representation of affine sl(e) with respect to some functors E and F. This category contains a smaller category A that caregorifies the higher level Fock space. We prove that the functor F for the category A at level -N-e can be decomposed in terms of the components of the functor F for the category A at level -N-e-1. To prove this, we construct an isomorphism between the KLR algebra associated with the cyclic quiver with e vertices and a subquotienl of the KLR algebra associated with the cyclic quiver with e+1 vertices