Equations Singulières de type KPZ

Singular KPZ Type Equations

• Auteur / Autrice : Yvain Bruned
• Direction : Lorenzo Zambotti
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 14/12/2015
• Etablissement(s) : Paris 6
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Peter Friz, Christian Brouder, Massimiliano Gubinelli, Martin Hairer, Dominique Manchon, Thierry Levy
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Ismaël Bailleuil, Peter Friz

Mots clés

Mots clés contrôlés

Processus stochastiques

Groupe de renormalisation

Mots clés libres

Equations différentielles partielles stochastiques

Equation KPZ généralisée

Structures de Régularité

Groupe de Renormalisation

Algèbre de Hopf

Diagrammes de Feynman

Partial stochastic differential equations

Generalised KPZ equation

Résumé

Dans cette thèse, on s'intéresse à l'existence et à l'unicité d'une solution pour l'équation KPZ généralisée. On utilise la théorie récente des structures de régularité inspirée des chemins rugueux et introduite par Martin Hairer afin de donner sens à ce type d'équations singulières. La procédure de résolution comporte une partie algébrique à travers la définition du groupe de renormalisation et une partie stochastique avec la convergence de processus stochastiques renormalisés. Une des améliorations notoire de ce travail apportée aux structures de régularité est la définition du groupe de renormalisation par le biais d'une algèbre de Hopf sur des arbres labellés. Cette nouvelle construction permet d'obtenir des formules simples pour les processus stochastiques renormalisés. Ensuite, la convergence est obtenue par un traitement efficace de diagrammes de Feynman.

In this thesis, we investigate the existence and the uniqueness of the solution of the generalised KPZ equation. We use the recent theory of regularity structures inspired from the rough path and introduced by Martin Hairer in order to give a meaning to this singular equation. The procedure contains an algebraic part through the renormalisation group and a stochastic part with the computation of renormalised stochastic processes. One major improvement in the theory of the regularity structures is the definition of the renormalisation group using a Hopf algebra on some labelled trees. This new construction paves the way to simple formulas very useful for the renormalised stochastic processes. Then the convergence is obtained by an efficient treatment of some Feynman diagrams.