Equations Singulières de type KPZ

par Yvain Bruned

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Lorenzo Zambotti.

Soutenue le 14-12-2015

à Paris 6 , dans le cadre de École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....) , en partenariat avec Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires (laboratoire) .

Le jury était composé de Peter Friz, Christian Brouder, Massimiliano Gubinelli, Martin Hairer, Dominique Manchon, Thierry Levy.

Les rapporteurs étaient Ismaël Bailleuil, Peter Friz.


  • Résumé

    Dans cette thèse, on s'intéresse à l'existence et à l'unicité d'une solution pour l'équation KPZ généralisée. On utilise la théorie récente des structures de régularité inspirée des chemins rugueux et introduite par Martin Hairer afin de donner sens à ce type d'équations singulières. La procédure de résolution comporte une partie algébrique à travers la définition du groupe de renormalisation et une partie stochastique avec la convergence de processus stochastiques renormalisés. Une des améliorations notoire de ce travail apportée aux structures de régularité est la définition du groupe de renormalisation par le biais d'une algèbre de Hopf sur des arbres labellés. Cette nouvelle construction permet d'obtenir des formules simples pour les processus stochastiques renormalisés. Ensuite, la convergence est obtenue par un traitement efficace de diagrammes de Feynman.

  • Titre traduit

    Singular KPZ Type Equations


  • Résumé

    In this thesis, we investigate the existence and the uniqueness of the solution of the generalised KPZ equation. We use the recent theory of regularity structures inspired from the rough path and introduced by Martin Hairer in order to give a meaning to this singular equation. The procedure contains an algebraic part through the renormalisation group and a stochastic part with the computation of renormalised stochastic processes. One major improvement in the theory of the regularity structures is the definition of the renormalisation group using a Hopf algebra on some labelled trees. This new construction paves the way to simple formulas very useful for the renormalised stochastic processes. Then the convergence is obtained by an efficient treatment of some Feynman diagrams.


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