Théorie quantique des singularités, symétrie miroir et hiérarchies intégrables

Quantum singularity theory, mirror symmetry and integrable hierarchies

• Auteur / Autrice : Jérémy Guéré
• Direction : Alessandro Chiodo
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 18/06/2015
• Etablissement(s) : Paris 6
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Laurent Manivel, Claire Voisin, Dimitri Zvonkine
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Samuel Boissière, Alexander Polishchuk

Mots clés

Mots clés contrôlés

Symétrie miroir

K-théorie

Géométrie algébrique

Mots clés libres

Géométrie algébrique

Cycle virtuel

Factorisation matricielle

K-Théorie

Symétrie miroir

Hiérarchie intégrable

Algebraic geometry

Virtual cycle

Mirror symmetry

Résumé

Dans cette thèse, nous établissons un résultat de symétrie miroir dans une gamme de cas pour lesquelles les techniques habituelles reposant sur la concavité ou sur la convexité ne fonctionnent pas. Plus précisément, nous travaillons sur la théorie quantique des singularités développée par Fan,Jarvis, Ruan et Witten, et vue comme un analogue de la théorie de Gromov--Witten via la correspondance LG/CY. Notre résultat principal donne une formule explicite pour le cycle virtuel de Polishchuk et Vaintrob en genre zéro. Dans les cas non-concaves des polynômes dits inversibles, elle nous procure un théorème de compatibilité entre le cycle virtuel de Fan--Jarvis--Ruan--Witten et celui de Polishchuk--Vaintrob. Pour les polynômes qui sont de plus de type chaine, nous obtenons une preuve d'un théorème de symétrie miroir pour la théorie FJRW. Enfin, nous généralisons notre résultat principal et calculons le produit d'intersection entre la classe de Chern maximale du fibré de Hodge et le cycle virtuel en genre quelconque. Spécifié au cas de la théorie des courbes 3-spin, ceci mène à la preuve d'une conjecture de Buryak sur l'équivalence entre la hiérarchie DR et la hiérarchie 3-KdV.

In this thesis, we provide a mirror symmetry theorem in a range of cases where the state-of-the-art techniques relying on concavity or convexity do not apply. More specifically, we work on a family of FJRW potentials named after Fan, Jarvis, Ruan, and Witten's quantum singularity theory and viewed as the counterpart of a non-convex Gromov--Witten potential via the physical LG/CY correspondence. The main result provides an explicit formula for Polishchuk and Vaintrob's virtual cycle in genus zero. In the non-concave case of the so-called chain invertible polynomials, it yields a compatibility theorem with the FJRW virtual cycle and a proof of mirror symmetry for FJRW theory. At last, we generalize our main theorem to the computation of intersection numbers between the top Chern class of the Hodge bundle and the virtual cycle in arbitrary genus. In the case of 3-spin theory, it leads to a proof of Buryak's conjecture on the equivalence between double ramification hierarchy and 3-KdV hierarchy.