Quasi-periodicity and quasi-conservativity

• Auteur / Autrice : Jessica Elisa Massetti
• Direction : Jacques Féjoz, Alain Chenciner
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Astronomie et astrophysique, dynamique des systèmes gravitationnels
• Date : Soutenance en 2015
• Etablissement(s) : Observatoire de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Astronomie et astrophysique d'Île-de-France (Meudon, Hauts-de-Seine1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mécanique céleste et de calcul des éphémérides (Paris2000-....)
• Jury : Président / Présidente : Jacques Laskar
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jacques Féjoz, Alain Chenciner, Luigi Chierchia, Jean-Pierre Marco
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Luigi Chierchia, Jean-Pierre Marco

Mots clés

Mots clés contrôlés

Attracteurs (mathématiques)

Théorème KAM

Équations fonctionnelles

Perturbation (théorie quantique)

Résumé

En 1967, J. Moser établit un remarquable théorème de forme normale pour des perturbations analytiques de champs de vecteurs analytiques possédant un tore invariant réductible quasi-périodique de fréquences Diophantiennes. Dans la première partie du travail nous présentons une preuve alternative à celle de Moser, consistant à trouver la solution d’une équation fonctionnelle non linéaire à travers un théorème d’inversion locale en classe analytique. Dans le même esprit que cette forme normale, il est possible de montrer l’existence d’autres types de formes normales dépendant des symétries présentes dans els équations. Il est immédiat de déduire de ces formes normales des résultats de type KAM si le système considéré dépend d’une « bonne façon » d’un nombre suffisant de paramètres – internes ou externes au système. Le résultat de persistance est ainsi obtenu à partir d’une technique d’élimination de paramètres, mise au point par Herman et R\ʼˈussmann, ainsi que d’autres auteurs dans les années 80-90. Dans ce cadre, le problème spin-orbit dissipatif en mécanique céleste, présenté récemment par différents auteurs, est traité plus facilement et déduire l’existence d’attracteurs quasi-périodiques devient un cas particulier de petite dimension. En outre, le processus d’élimination des paramètres met en relief des relations entre dissipation, fréquence et perturbation propres au système spin-orbite. Ceci donne une meilleure compréhension de leur rôle et ouvre la voie à une étude plus globale dans l’espace des paramètres sur la persistance de différents types de mouvements aux perturbations. Dans l’annexe, un analogue discret 2-dimensionnel du théorème de Moser est aussi présenté.

In 1967, J. Moser published a powerful normal form theorem for analytic perturbations of analytic vector-fields possessing an invariant quasi periodic reducible torus with Diophantine frequencies. In the first part of the work we present an alternative proof of Moser’s result which consists in finding the solution of a non linear functional equation through an abstract inverse function theorem in analytic class. In the same spirit as Moser’s normal form one can prove the existence of others types of normal forms, according to the symmetries present in the equations. From these it is straightforward to deduce some KAM-type result if the system under consideration depends in an opportune way on sufficient number of “free parameters” – external or internal to the system. The persistence results is hence obtained through a technique of elimination of parameters set up by Herman, R\ ʼˈussmann and other autohrs in the 80-90’s. In this frame, the dissipative spin-orbit problem of celestial mechanics, studied by different authors in the last few years, can more easily be handled and the issue of proving the persistence of quasi-periodic attractors becomes a particular case of low dimension. Additionally, the process of elimination of parameters developed in this context, highlghts relations among dissipation, frequency and perturbation proper to the spin-orbit system and brings out a better understanding of their role, opening the way to a more global study in the parameter’s space on the persistence of different kinds of motions under perturbation. In the appendix, a 2-dimensional discrete time analogue of Moser’s theorem is also given.