Auteur / Autrice : | Ilaria Mondello |
Direction : | Gilles Carron |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques et leurs interactions |
Date : | Soutenance en 2015 |
Etablissement(s) : | Nantes |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Sciences et technologies de l'information et mathématiques (Nantes) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Jean Leray (Nantes) |
autre partenaire : Université de Nantes. Faculté des sciences et des techniques | |
Jury : | Président / Présidente : Emmanuel Hebey |
Examinateurs / Examinatrices : Gilles Carron, Emmanuel Hebey, Sun-Yung Alice Chang, Emmanuel Humbert, Benoit Kloeckner, Vincent Minerbe, Samuel Tapie | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Sun-Yung Alice Chang, Emmanuel Humbert |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Mots clés libres
Résumé
On étudie une classe d’espaces métriques singuliers, les espaces stratifiés, et on se propose d’étendre à ces derniers des résultats de géométrie riemannienne et d’analyse sur les variétés. Dans une première partie, on montre l’existence d’une borne inférieure pour le bas du spectre du Laplacien, sous une hypothèse géométrique de minoration de la courbure de Ricci. Cela permet également de démontrer l’existence d’une inégalité de Sobolev dont les constantes dépendent uniquement du volume et de la dimension de l’espace, et d’une borne supérieure pour le diamètre. En outre, on prouve que la borne pour le diamètre est atteinte si et seulement si celle pour le bas du spectre l’est aussi. La deuxième partie de ce manuscrit est dédiée aux conséquences des résultats précédents sur le problème de Yamabe pour un espace stratifié : ce problème consiste à chercher une métrique conforme à courbure scalaire constante, et l’existence d’une solution dépend d’un invariant conforme, la constante de Yamabe locale, dont la valeur est en général inconnue. On montre que celle-ci peut-être calculée en un grand nombre de cas, lorsque une hypothèse géométrique sur le lieu singulier est vérifiée. On utilise des techniques liées aux inégalités isopérimétrique et de Sobolev. Enfin, on donne une classe d’exemples pour lesquels on peut prouver qu’une métrique conforme à courbure scalaire constante existe.