Opérateur de Gauss-Bonnet semi-Fredholm et propriétés spectrales sur les graphes infinis
Auteur / Autrice : | Hèla Ayadi |
Direction : | Colette Anné, Nabila Torki-Hamza |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques et leurs interactions |
Date : | Soutenance en 2015 |
Etablissement(s) : | Nantes en cotutelle avec Université de Carthage (Tunisie) |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Sciences et technologies de l'information et mathématiques (Nantes) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Jean Leray (Nantes) |
autre partenaire : Université de Nantes. Faculté des sciences et des techniques - Université Nantes-Angers-Le Mans - COMUE (2009-2015) |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Mots clés libres
Résumé
Dans le contexte des graphes infinis, localement finis et pondérés, nous nous intéressons à l’étude des propriétés de l’opérateur discret de Gauss-Bonnet qui est un opérateur de type Dirac (son carré est l’opérateur Laplacien). Plus précisément, nous donnons une version discrète de la notion importante de non-parabolicité à l’infini introduite par Gilles Carron pour les variétés Riemanniennes non-compactes. De plus, grâce à cette condition notre opérateur est Semi-Fredholm ce qui est utile dans la décomposition de Hodge pour résoudre des problèmes tel que le problème de Kirchhoff. Une autre partie de cette thèse consiste à étudier les propriétés spectrales de l’opérateur Laplacien. En fait, nous distinguons deux types d’opérateurs Laplaciens le premier défini sur l’espace des fonctions sur les sommets et le deuxième défini sur l’espace des fonctions sur les arêtes. C’est une question naturelle de voir le lien entre leur spectres respectifs. En utilisant, le critère de Weyl, nous montrons que le spectre de ces deux Laplaciens coïncident en dehors de la valeur 0. De plus, nous étendons le résultat de John Lott qui affirme que la valeur spectrale 0 est dans le spectre de l’un de ces deux Laplacien