Théorie des ambiguïtés pour les résolutions projectives d'algèbres associatives

Theory of ambiguities for projective resolutions of associative algebras

• Auteur / Autrice : Sergio Chouhy
• Direction : Claude Cibils, Andrea Solotar
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et modélisation
• Date : Soutenance le 30/11/2015
• Etablissement(s) : Montpellier en cotutelle avec Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales (Buenos Aires)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (Montpellier ; 2003-....)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Claude Cibils, Andrea Solotar, Emil Sköldberg, Eduardo Marcos, Guillermo Cortiñas, Damien Calaque
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Emil Sköldberg, Eduardo Marcos

Mots clés

Mots clés contrôlés

Hochschild, Gerhard (1915-2010)

Homologie

Algèbres associatives

Mots clés libres

Algèbre

Hochschild

Homologie

Algebra

Hochschild

Homology

Résumé

Cette thèse s'intéresse au problème de calculer des résolutions projectives d'algèbres associatives. Notre point de départ est la résolution de Bardzell pour les algèbres monomiales. Étant donnée une algèbre, nous utilisons le principe de systèmes de réduction de Bergman pour lui associer des algèbres monomiales. Nous montrons que les différentielles de la résolution de Bardzell de ces algèbres peuvent se modifier pour obtenir des résolutions projectives de l'algèbre de départ. Par ailleurs, nous donnons un critère pour qu'un complexe provenant d'une modification de la résolution de Bardzell d'une algèbre monomiale associée soit exacte. Nous appliquons notre méthode à trois familles d'algèbres: les intersections complètes quantiques, les algèbres de Weyl généralisées quantiques, et les algèbres down-up. Dans le cas des algèbres down-up, nous utilisons la résolution obtenue pour calculer des invariants homologiques de ces algèbres. De cette façon nous montrons des propriétés de régularité et nous donnons une solution au problème de l'isomorphisme pour les algèbres down-up non-noethériennes.

This thesis is concerned with the problem of computing projective resolutions of associative algebras. Our starting point is Bardzell's resolution for monomial algebras. Given an associatve algebra, we use Bergman's principle of reduction systems to associate monomial algebras to it. We prove that the differentials in Bardzell's resolution of these monomial algebras can be modified to obtain projective resolutions of the original algebra. We also give sufficient conditions for a complex coming from a modification of Bardzell's resolution of an associated monomial algebra to be exact. We apply our method to three families of algebras: Quantum complete intersections, Quantum generalized Weyl algebras and down-up algebras. In the case of down-up algebras, we use the resolution obtained to compute homological invariants of these algebras. This way we prove regularity properties and we solve the isomorphism problem for non-noetherian down-up algebras.