Thèse soutenue

Contributions à l'algèbre linéaire exacte sur corps finis et au chiffrement homomorphe
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Auteur / Autrice : Bastien Vialla
Direction : Laurent Imbert
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Informatique
Date : Soutenance le 14/12/2015
Etablissement(s) : Montpellier
Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; 2015)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'informatique, de robotique et de micro-électronique (Montpellier ; 1992-....)
Jury : Président / Présidente : Gilles Trombettoni
Examinateurs / Examinatrices : Laurent Imbert, Gilles Trombettoni, Emmanuel Thomé, Damien Vergnaud, Pascal Giorgi, Jean-Louis Roch
Rapporteurs / Rapporteuses : Emmanuel Thomé, Damien Vergnaud

Mots clés

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Mots clés contrôlés

Résumé

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Cette thèse est composée de deux axes principaux, le premier portant sur le chiffrement homomorphe et le second sur l’algèbre linéaire creuse sur corps finis. Avec l’essor des technologies de communication et en particulier d’internet, de nouveaux protocoles de chiffrement sont développés. En particulier, le besoin de systèmes de chiffrement permettant de manipuler les données chiffrées tout en assurant leur sécurité. C’est dans ce contexte que des systèmes de chiffrement homomorphe sont développés, ces protocoles permettent d’effectuer des calculs avec des données chiffrées. La sécurité de ce type système repose sur l’ajout de bruit aux messages à chiffrer. Ce bruit augmente avec chaque opération effectuée, mais il ne doit pas dépasser un certain seuil. Pour contourner ce problème, une technique nommée bootstrapping est utilisée permettant de réduire le bruit d’un chiffré. Les bootstrappings sont le goulot d’étranglement lors des calculs sur des données chiffrées, il est important d’en faire le moins possible. Or la quantité de bootstrappings à faire est déterminée par la nature des calculs à effectuer ainsi que du protocole de chiffrement utilisé.C’est dans ce contexte que notre travail intervient, nous proposons une méthode effective pour réduire le nombre bootstrappings basé sur la programmation linéaire en nombre entier. Cette méthode s’adapte à un grand nombre de protocoles de chiffrement. De plus, nous effectuons une analyse de la complexité de ce problème en montrant qu’il est APX-complet et nous fournissons un algorithme d’approximation.La résolution de système linéaire sur corps finis est une brique de calcul essentielle dans de nombreux problèmes de calcul formel. En particulier, beaucoup de problèmes produisent des matrices comprenant un grand nombre de zéros, on dit qu’elles sont creuses. Les meilleurs algorithmes permettant de résoudre ce type de système linéaire creux sont des algorithmes dits itératifs. L’opération fondamentale de ces algorithmes itératifs est la multiplication de la matrice par un vecteur ou une matrice dense. Afin d’obtenir les meilleures performances, il est important de tenir compte des propriétés (SIMD, multicoeurs, hiérarchie des caches ....) des processus modernes .C’est dans ce contexte que notre travail intervient, nous étudions la meilleure façon d’implanter efficacement cette opération sur les processeurs récents.Nous proposons un nouveau format permettant de tenir compte du grand nombre de +- 1 présents dans une matrice.Nous proposons une implantation parallèle basée sur le paradigme du vol de tâche offrant un meilleur passage à l’échelle que le parallélisme par threads.Nous montrons comment exploiter au mieux les instructions SIMD des processeurs dans les différentes opérations.Finalement, nous proposons une méthode efficace permettant d’effectuer cette opération lorsque le corps finis est multiprécision (les éléments sont stockés sur plusieurs mots machine) en ayant recours au système de représentation RNS.