Cohomologie des variétés de Coxeter pour le groupe linéaire : algèbre d'endomorphismes, compactification

Cohomology of Coxeter varieties for linear groups : endomorphisms algebra, compactification

• Auteur / Autrice : Tuong-Huy Nguyen
• Direction : Cédric Bonnafé
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et modélisation
• Date : Soutenance le 11/12/2015
• Etablissement(s) : Montpellier
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (Montpellier ; 2003-....)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Cédric Bonnafé, Emmanuel Letellier, Toshiaki Shoji, Olivier Dudas, Nicolas Ressayre
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Emmanuel Letellier, Toshiaki Shoji

Mots clés

Mots clés contrôlés

Compactifications

Endomorphismes (théorie des groupes)

Groupes algébriques linéaires

Variétés (mathématiques)

Groupes finis

Cohomologie

Mots clés libres

Théorie de Deligne-Lusztig

Représentations des groupes réductifs finis

Groupes finis

Deligne-Lusztig theory

Representations of finite reductive groups

Finite groups

Résumé

Les variétés de Deligne-Lusztig associées à un élément de Coxeter, dites variétés de Coxeter et notées Y(c˙), sont des variétés candidates à réaliser l'équivalence dérivée demandée dans la conjecture de Broué. Cette conjecture implique qu'une telle variété doit avoir une cohomologie disjointe et donne également la description de l'algèbre d'endomorphismes associée. Dans le cas des groupes linéaires, nous décrivons la cohomologie des variétés de Coxeter et en déduisons que celles-ci vérifient bien les propriétés impliquées par la conjecture de Broué. Pour ce faire, nous montrons qu'il est possible d'appliquer un résultat de "transitivité" permettant de se ramener à des variétés de Coxeter "plus petites" et nous utilisons ensuite un résultat établi par Lusztig sur des variétés notées X(c), obtenues comme des quotients des variétés Y(c˙) par des groupes finis. Enfin, dans une dernière partie, la description de la cohomologie des variétés de Coxeter nous permet d'obtenir un lien entre la cohomologie de la compactification Y¯(c˙) et celle de la compactification X¯(c).

Deligne-Lusztig varieties associated to Coxeter elements, or more simply Coxeter Varieties denoted by Y(c˙), are good candidates to realize the derived equivalence needed for the Broué's conjecture. The conjecture implies that the varieties should have disjoint cohomology as well as gives a description of the endomorphisms algebra. For linear groups, we describe the cohomology of the Coxeter varieties and hence show that it agrees with the conditions implied by Broué's conjecture. To do so, we prove it is possible to apply a "transitivity" result allowing us to restrict to "smaller" Coxeter varieties. Then, we apply a result obtained by Lusztig on varieties X(c), which are quotient varieties of Y(c˙) by some finite groups. In the last part of the thesis, we use the description of the cohomology of Coxeter varieties to connect the cohomology of the compactification Y¯(c˙) and the cohomology of the compactification X¯(c).