Autour des singularités d’applications vectorielles en physique de la matière condensée

Singularities of vector-valued maps in condensed matter physics

• Auteur / Autrice : Xavier Lamy
• Direction : Petru Mironescu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 06/07/2015
• Etablissement(s) : Lyon 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
• Jury : Président / Présidente : Bernard Helffer
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Petru Mironescu, Itai Shafrir, Radu Ignat, John MacLeod Ball, Virginie Bonnaillie, Lia Bronsard
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Sylvia Serfaty, Felix Otto

Mots clés

Mots clés contrôlés

Cristaux liquides

Théorie de Ginzburg-Landau

Calcul des variations

Analyse fonctionnelle non linéaire

Mots clés libres

Analyse non linéaire

Calcul des variations

Systèmes elliptiques

Défauts

Ginzburg-Landau

Cristaux liquides

Nonlinear analysis

Calculus of variations

Elliptic systems

Defects

Ginzburg-Landau

Liquid crystals

Résumé

Cette thèse est consacrée principalement à l'analyse mathématique de modèles issus de la physique des cristaux liquides et de la supraconductivité. Ces modèles ont en commun de faire intervenir des systèmes elliptiques dont les solutions présentent des singularités : défauts optiques dans les cristaux liquides, défauts de vorticité en supraconductivité. Les cristaux liquides se composent de molécules allongées qui, tout en étant distribuées « au hasard » comme dans un liquide, tendent à s'aligner dans une direction commune : cet « ordre d'orientation » leur confère des propriétés optiques similaires à celles d'un cristal, à l'origine de leurs nombreuses applications industrielles. On démontre différents résultats liés à la symétrie locale de cet alignement autour des singularités. On présente aussi dans cette thèse différents résultats liés au modèle de Ginzburg-Landau pour les supraconducteurs de type II, et aux « défauts de vorticité » : points isolés autour desquels la supraconductivité est détruite. Une dernière partie de cette thèse traite de la caractérisation de la régularité d'une fonction f à travers la vitesse de convergence de f ∗ ρε pour un certain noyau ρ. Dans un travail commun avec Petru Mironescu, on s'intéresse à la question de la régularité des noyaux ρ qui permettent une telle caractérisation

The present thesis is devoted mainly to the mathematical analysis of models arising in the physics of liquid crystals and superconductivity. A common feature of these models is that one has to deal with elliptic systems whose solutions have singularities: optical defects in liquid crystals, vorticity defects in superconductivity. The rod-like molecules in a liquid crystals, while being (as in a liquid) “randomly” distributed, tend to align in a common direction: this “orientational order” enhances crystal-like optical properties, which are responsible for their many industrial applications. We demonstrate different results related to the local symmetry of this alignement near singularities. We also present some results related to the Ginzburg-Landau model for type II superconductivity, and to “vortices”: isolated points at which superconductivity is destroyed. The last part of this thesis addresses regularity characterization for a function f through the convergence rate of f ∗ ρε, for some kernel ρ. In a joint work with Petru Mironescu we study the minimal regularity of ρ that allows such characterization