Inférence statistique sur le processus de Mino

par Rabih Damaj

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Evans Gouno.

Soutenue le 29-05-2015

à Lorient , dans le cadre de École doctorale Santé, information-communication et mathématiques, matière (Brest, Finistère) , en partenariat avec Université européenne de Bretagne (PRES) et de Laboratoire de mathématiques de Bretagne Atlantique (laboratoire) .

Le jury était composé de Philippe Castagliola, Gilles Durrieu, Emmanuel Frénod.

Les rapporteurs étaient Laurent Serlet, Hicham Abdallah.

mots clés

• Processus auto-excité
• Optimisation
• Processus stochastiques
• Processus stochastiques
• Optimisation mathématique

Résumé

Le sujet de cette thèse concerne l’inférence statistique sur le processus de Mino que nous définissons comme un processus auto-excité de mémoire 1 dont l’intensité est de forme particulière. Nous donnons tout d’abord une description générale des processus auto-excités et des méthodes possibles pour estimer les paramètres de l’intensité de ces processus. Puis, nous considérons le cas particulier d’un processus auto-excité de mémoire 1 que l’on rencontre en traitement du signal et que nous avons dénommé : processus de Mino. Nous montrons que ce processus est un processus de renouvellement dont les interarrivées ont une distribution particulière que nous étudions en détails. Nous envisageons alors le problème de l’estimation des paramètres de l’intensité du processus de Mino en utilisant la méthode du maximum de vraisemblance. Nous résolvons les équations de vraisemblance en utilisant l’algorithme de Newton-Raphson. La méthode est appliquée à des données simulées. La convergence de l’algorithme de Newton-Raphson est démontrée, de même que l’existence et l’unicité des estimateurs. Nous terminons par la construction d’un test d’hypothèses qui permet de détecter si un processus ponctuel est auto-excité ou non

mots clés

• Stochastic processes
• Mathematical optimization
• One-memory self-exciting point process

Titre traduit

Statistical inference on Mino process

Résumé

The subject of this PhD thesis is the statistical inference on Mino process that we define as a one-memory self-exciting point process which intensiy has a special form. We begin with a general description of self-exciting point processes and we present methods used to estimate the intensity parameters of these processes. We consider the special case of a one-memory self-exciting point process, used in signal processing. We call the process: the Mino process. This process can be interpreted as a renewal process which interarrival times that follow a special distribution that we study in details. In order to estimate the parameters of a Mino process intensity, we utilize the maximum likelihood method. We solve the likelihood equations with a Newton-Raphson algorithm. We show the efficiency of the method on simulated data. The convergence of the Newton-Raphson algorithm and, the existence and uniqueness of the maximun likelihood estimators are proved. Lastly, we construct a test of hypothesis to assess whether a point process is self-exciting or not.