Estimation non paramétrique adaptative dans la théorie des valeurs extrêmes : application en environnement

par Quang Khoai Pham

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Gilles Durrieu et de Ion Grama.

Le jury était composé de Jean-Noël Bacro, Jean-François Dupuy, Olivier Sire.

Les rapporteurs étaient Patrice Bertail, Jean-Marc Azaïs.


  • Résumé

    L'objectif de cette thèse est de développer des méthodes statistiques basées sur la théorie des valeurs extrêmes pour estimer des probabilités d'évènements rares et des quantiles extrêmes conditionnelles. Nous considérons une suite de variables aléatoires indépendantes X_{t₁}, X_{t₂},...,X_{t_n} associées aux temps 0≤t_1≺… ≺t_n≤T_{max} où X_{t_i} a la fonction de répartition F_{t_i} et F_t est la loi conditionnelle de X sachant T=t∈[0,T_{max}]. Pour chaque t∈[0,T_{max}], nous proposons un estimateur non paramétrique de quantiles extrêmes de F_t. L'idée de notre approche consiste à ajuster pour chaque t∈[0,T_{max}] la queue de la distribution F_{t}, par une distribution de Pareto de paramètre θ_{t,τ} à partir d'un seuil τ. Le paramètre θ_{t,τ} est estimé en utilisant un estimateur non paramétrique à noyau de taille de fenêtre h basé sur les observations plus grandes que τ. Sous certaines hypothèses de régularité, nous montrons que l'estimateur adaptatif proposé de θ_{t,τ} est consistant et nous donnons sa vitesse de convergence. Nous proposons une procédure de tests séquentiels pour déterminer le seuil τ et nous obtenons le paramètre h suivant deux méthodes : la validation croisée et une approche adaptative. Nous proposons également une méthode pour choisir simultanément le seuil τ et la taille de la fenêtre h. Finalement, les procédures proposées sont étudiées sur des données simulées et sur des données réelles dans le but d'aider à la surveillance de systèmes aquatiques.

  • Titre traduit

    Nonparametric adaptive estimation in the extreme value theory : application in ecology


  • Résumé

    The objective of this PhD thesis is to develop statistical methods based on the theory of extreme values to estimate the probabilities of rare events and conditional extreme quantiles. We consider independent random variables X_{t₁},…,X_{t_n} associated to a sequence of times 0≤t_1≺… ≺t_n≤T_{max} where X_{t_i} has distribution function F_{t_i} and F_t is the conditional distribution of X given T=t∈[0,T_{max}]. For each t∈[0,T_{max}], we propose a nonparametric adaptive estimator for extreme quantiles of F_t. The idea of our approach is to adjust the tail of the distribution function F_t with a Pareto distribution of parameter θ_{t,τ} starting from a threshold τ. The parameter θ_{t,τ} is estimated using a nonparametric kernel estimator of bandwidth h based on the observations larger than τ. We propose a sequence testing based procedure for the choice of the threshold τ and we determine the bandwidth h by two methods: cross validation and an adaptive procedure. Under some regularity assumptions, we prove that the adaptive estimator of θ_{t,τ} is consistent and we determine its rate of convergence. We also propose a method to choose simultaneously the threshold τ and the bandwidth h. Finally, we study the proposed procedures by simulation and on real data set to contribute to the survey of aquatic systems.


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