Comportement homologique de la dualité des groupes quantiques

Homological manifestations of quantum group duality

• Auteur / Autrice : Jason Crann
• Direction : Matthias Neufang, Mostafa Mbekhta
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques pures
• Date : Soutenance le 06/08/2015
• Etablissement(s) : Lille 1 en cotutelle avec Carleton University
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille ; 1992-2021)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algèbres de von Neumann

Modules (algèbre)

Analyse harmonique (mathématiques)

Algèbres d'opérateurs

Groupes quantiques

Groupes localement compacts

Mots clés libres

Moyennabilité

Résumé

La connexion entre moyennabilité d'un groupe localement compact G et l'injectivité de son algèbre de von Neumann LG a été étudié depuis des décennies, et représente l'une des connexions les plus importantes entre l'analyse harmonique et les algèbres d'opérateurs. Dans ce travail, nous clarifions cette connexion en montrant l'équivalence de moyennabilité de G et l'injectivité de LG en tant que module d'opérateur sur l'algèbre de Fourier A(G). En fait, nous établissons le résultat correspondant au niveau des groupes quantiques localement compacts G, fournissant un nouvel outil pour le développement de l'analyse harmonique abstraite sur les groupes quantiques localement compacts. En appliquant le résultat principal, nous montrons qu'un sous-groupe quantique fermé d'un groupe quantique moyennable est moyennable, et nous donnons une preuve simplifiée qu'un groupe quantique compact est co-moyennable quand son duale est moyennable. Nous introduisons également une notion de moyennabilité intérieure pour les groupes quantiques localement compacts et nous étudions sa connexion à l'injectivité relative. Nous montrons que la moyennabilité intérieure de G entraîne l'injectivité relative de LIQH en tant que module d'opérateur sur LOQH, et que l'inverse est vrai dans le cadre d'un groupe. Nos techniques nous permettent également de résoudre partiellement une question de Forrest, Lee et Samei concernant la projectivité relative d'opérateur de A(G), ainsi que le problème ouvert de platitude relative d'opérateur de A(G). Nous terminons en montrant l'auto dualité de platitude des algèbres de convolution des groupes quantiques localement compacts.

The connection between amenability of a locally compact group G and injectivity of its group von Neumann algebra LG has been studied by many of the world's leading operator algebraists for decades. In this work we clarify this connection by showing the equivalence between amenability of G and injectivity of LG as an operator module of the Fourier algebra A(G). In fact, we prove a corresponding result for all locally compact quantum groups G, providing a novel tool for the development of abstract harmonic analysis on locally compact quantum groups. We give several immediate applications, including a proof that closed quantum subgroups of amenable quantum groups are amenable, as well as a simplified proof that co-amenability and amenability of the dual are equivalent for compact quantum groups which avoids the use of modular theory, suggesting a potential avenue for generalization beyond the compact setting. We also introduce a notion of inner amenability for locally compact quantum groups and study its connection to relative injectivity. We obtain several new results which not only answer open questions, but provide new approaches from a homological perspective, including the self duality of biflatness for quantum group convolution algebras.