Extensions lipschitziennes minimales

Minimal lipschitz extension

• Auteur / Autrice : Thanh Viet Phan
• Direction : Erwan Le Gruyer
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance le 16/12/2015
• Etablissement(s) : Rennes, INSA
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, télécommunications, informatique, signal, systèmes, électronique (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique (Rennes ; 1996-....)
• Partenaire(s) de recherche : : Université européenne de Bretagne (2007-2016)
• Jury : Président / Présidente : Yves Achdou
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Erwan Le Gruyer, Yves Achdou, Thierry Champion, Andreea Nicoara, Mounir Haddou, Carole Le Guyader, Olivier Ley
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Thierry Champion, Andreea Nicoara

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations aux dérivées partielles

Analyse fonctionnelle

Mots clés libres

Extensions minimales

Kirszbraun

Withney

Extensions lipschitziennes minimales

Functional analysis

Partial differential equations

Minimal extension

Kirszbraun

Withney

Absolutely minimal lipschitz extension

Résumé

Cette thèse est consacrée aux quelques problèmes mathématiques concernant les extensions minimales de Lipschitz. Elle est organisée de manière suivante. Le chapitre 1 est dédié à l’introduction des extensions minimales de Lipschitz. Dans le chapitre 2, nous étudions la relation entre la constante de Lipschitz d’ 1-field et la constante de Lipschitz du gradient associée à ce 1-field. Nous proposons deux formules explicites Sup-Inf, qui sont des extensions extrêmes minimales de Lipschitz d’1-field. Nous expliquons comment les utiliser pour construire les extensions minimales de Lipschitz pour les applications Rmà Rn . Par ailleurs, nous montrons que les extensions de Wells d’1- fields sont les extensions absolument minimales de Lipschitz (AMLE) lorsque le domaine d’expansion d’1-field est infini. Un contreexemple est présenté afin de montrer que ce résultat n’est pas vrai en général. Dans le chapitre 3, nous étudions la version discrète de l’existence et l’unicité de l’AMLE. Nous montrons que la fonction tight introduite par Sheffield and Smart est l’extension de Kirszbraun. Dans le cas réel, nous pouvons montrer que cette extension est unique. De plus, nous proposons un algorithme qui permet de calculer efficacement la valeur de l’extension de Kirszbraun en complexité polynomiale. Pour conclure, nous décrivons quelques pistes pour la future recherche, qui sont liées au sujet présenté dans ce manuscrit.

The thesis is concerned to some mathematical problems on minimal Lipschitz extensions. Chapter 1: We introduce some basic background about minimal Lipschitz extension (MLE) problems. Chapter 2: We study the relationship between the Lipschitz constant of 1-field and the Lipschitz constant of the gradient associated with this 1-field. We produce two Sup-Inf explicit formulas which are two extremal minimal Lipschitz extensions for 1-fields. We explain how to use the Sup-Inf explicit minimal Lipschitz extensions for 1-fields to construct minimal Lipschitz extension of mappings from Rm to Rn. Moreover, we show that Wells’s extensions of 1-fields are absolutely minimal Lipschitz extensions (AMLE) when the domain of 1-field to expand is finite. We provide a counter-example showing that this result is false in general. Chapter 3: We study the discrete version of the existence and uniqueness of AMLE. We prove that the tight function introduced by Sheffield and Smart is a Kirszbraun extension. In the realvalued case, we prove that the Kirszbraun extension is unique. Moreover, we produce a simple algorithm which calculates efficiently the value of the Kirszbraun extension in polynomial time. Chapter 4: We describe some problems for future research, which are related to the subject represented in the thesis.