Flots géodésiques expansifs sur les variétés compactes sans points conjugués

Expansive geodesic flows on compact manifolds without conjugate points.

• Auteur / Autrice : Aurélien Bosché
• Direction : Gérard Besson, Gerhard Knieper
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 10/11/2015
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes (ComUE) en cotutelle avec Ruhr-Universität
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Peter Heinzner
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Gerhard Knieper, Damien Gayet, Alberto Abbondandolo
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : François Ledrappier, Barbara Schapira

Mots clés

Mots clés contrôlés

Entropie des systèmes quantiques

Mots clés libres

Flot expansif

Entropie

Mesure maximale

Margulis

Expansive flow

Entropy

Maximal measure

Margulis

Résumé

Cette thèse est composée de deux parties indépendantes.Dans la première partie nous étudions les propriétés dynamiques des flots géodésiques expansifs sur des variétés compactes sans points conjugués à l'aide du travail de R.O.~Ruggiero. Plus précisément nous montrons qu'un tel flot admet une unique mesure d'entropie maximale et nous construisons cette mesure. Cela généralise des résultats connus dans le cas des variétés compactes à courbure négative et de rang un. Nous montrons ensuite à l'aide de cette mesure que l'équivalent de Margulis (connu pour les variétés compactes à courbure strictement négative) concernant le nombre de lacets géodésiques est toujours valable dans ce cas.Dans la seconde partie nous étudions les isométries des cônes symétriques de dimension finie pour la métrique de Thompson et pour la métrique de Hilbert. Plus précisément nous montrons que le groupe d'isométries induit par les automorphismes linéaires de ce cône est un sous-groupe d'indice fini du groupe d'isométries pour chacune de ces deux métriques et donnons des représentant naturels pour le quotient de ces deux groupes. Cela généralise des résultats deL.~Molnár (qui a étudié ces isométries dans le cas des opérateurs symétriques positifs définis sur un espace de Hilbert complexe).

This thesis is divided in two independants parts.In the first part we investigate dynamical properties of expansive geodesic flows on compact manifolds without conjugate points using the work of R.O.~Ruggiero. More precisely we show that such a flow admits a unique measure of maximal entropy and constructthis measure. This extends results known in non-positively curved manifolds of rank one (and our construction is analogous). Wethen show, using this measure of maximal entropy, that the asymptotics of Margulis (known for compact negatively curvedmanifolds) on the number of geodesic loops still hold in this framework.In the second part we study isometries of finite dimensionalsymmetric cones for both the Thompson and the Hilbert metric. More precisely we show that the isometry group induced by the linear automorphisms preserving such a cone is a subgroup of finite indexin the full group of isometries for those two metrics and give a natural set of representatives of the quotient. This extends resultsof L.~Molnar (who studied such isometies for the symmetric irreducible cone of symmetric positive definite operators on acomplex Hilbert space).