Groupes discrets en géométrie hyperbolique : aspects effectifs

Discrete groups in hyperbolic geometry : effective aspects

• Auteur / Autrice : Jordane Granier
• Direction : Martin Deraux, Ruth Kellerhals
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 08/12/2015
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes (ComUE) en cotutelle avec Université de Fribourg (Fribourg, Suisse)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 199.-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Gilles Courtois
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Michelle Bucher, Erwan Lanneau, Hervé Pajot
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : John R. Parker, Christophe Bavard

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie hyperbolique

Groupes discrets

Mots clés libres

Géométrie hyperbolique

Groupes discrets

Ensembles limites

Réseaux

Espaces de modules

Hyperbolic geometry

Discrete groups

Limit sets

Lattices

Moduli spaces

Résumé

Cette thèse traite de deux problèmes en géométrie hyperbolique réelle et complexe. On étudie dans un premier temps des structures géométriques sur des espaces de modules de métriques plates à singularités coniques sur la sphère. D'après des travaux de W. Thurston, l'espace de modules des métriques plates sur S^2 à n singularités coniques d'angles donnés admet une structure de variété hyperbolique complexe non complète, dont le complété métrique est une variété conique hyperbolique complexe. On étudie dans cette thèse des formes réelles de ces espaces complexes en se restreignant à des métriques invariantes par une involution. On décrit une structure hyperbolique réelle sur les espaces de modules de métriques plates symétriques à 6 (respectivement 8) singularités d'angles égaux. On décrit les composantes connexes de ces espaces comme ouverts denses d'orbifolds hyperboliques arithmétiques. On montre que les complétés métriques de ces composantes connexes admettent un recollement naturel, dont on étudie la structure.La deuxième partie de cette thèse traite des ensembles limites de groupes discrets d'isométries du plan hyperbolique complexe. On construit le premier exemple explicite de sous-groupe discret de PU(2,1) dont l'ensemble limite est homéomorphe à l'éponge de Menger

This thesis is concerned with two problems in real and complex hyperbolic geometry. The first problem is the study of geometric structures on moduli spaces of flat metrics on the sphere with cone singularities. W. Thurston proved that the moduli space of flat metrics on S^2 with n singularities of given angles forms a non complete complex hyperbolic manifold, and that its metric completion is a complex hyperbolic cone-manifold. In this thesis we study real forms of these complex spaces by restricting our attention to metrics that are invariant under an involution. We describe a real hyperbolic structure on moduli spaces of flat symmetric metrics of 6 (respectively 8) singularities of same angle. We describe explicitly the connected components of these spaces as dense open subsets of arithmetic hyperbolic orbifolds. We show that the metric completions of these components admit a natural gluing, and we study the structure of the glued space. The second part of this thesis is devoted to the study of limit sets of discrete subgroups of the isometry group of complex hyperbolic plane. We construct the first known explicit example of a discrete subgroup of PU(2,1) which admits a limit set homeomorphic to the Menger curve