Thèse soutenue

Analyse harmonique sur les graphes et les groupes de Lie : fonctionnelles quadratiques, transformées de Riesz et espaces de Besov

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Auteur / Autrice : Joseph Feneuil
Direction : Emmanuel Russ
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 10/07/2015
Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes (ComUE)
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble) - Institut Fourier
Jury : Président / Présidente : Thierry Coulhon
Examinateurs / Examinatrices : Emmanuel Russ, Sandrine Grellier, Petru Mironescu, El Maati Ouhabaz
Rapporteurs / Rapporteuses : Pascal Auscher, Steve Hoffmann

Résumé

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Ce mémoire est consacré à des résultats d'analyse harmonique réelle dans des cadres géométriques discrets (graphes) ou continus (groupes de Lie).Soit Gamma un graphe (ensemble de sommets et d'arêtes) muni d'un laplacien discret Delta=I-P, où P est un opérateur de Markov. Sous des hypothèses géométriques convenables sur Gamma, nous montrons la continuité Lp de fonctionnelles de Littlewood-Paley fractionnaires. Nous introduisons des espaces de Hardy H1 de fonctions et de 1-formes différentielles sur Gamma, dont nous donnons plusieurs caractérisations, en supposant seulement la propriété de doublement pour le volume des boules de Gamma. Nous en déduisons la continuité de la transformée de Riesz sur H1. En supposant de plus des estimations supérieures ponctuelles (gaussiennes ou sous-gaussiennes) sur les itérées du noyau de l'opérateur P, nous obtenons aussi la continuité de la transformée de Riesz sur Lp pour 1<p<2.Nous considérons également l'espace de Besov B{p,q} alpha(G) sur un groupe de Lie unimodulaire G muni d'un sous-laplacien Delta. En utilisant des estimations du noyau de la chaleur associé à Delta, nous donnons plusieurs caractérisations des espaces de Besov, et montrons une propriété d'algèbre pour B{p,q} alpha(G) cap L nfty(G), pour alpha>0, 1leq p leq+infty et 1leq qleq +infty. Les résultats sont valables en croissance polynomiale ou exponentielle du volume des boules.