Optimisation du spectre du Laplacien avec conditions de Dirichlet et Neumann dans R² et R³

Optimization of the Laplacian spectrum with Dirichlet and Neumann boundary conditions in R^2 and R^3

• Auteur / Autrice : Amandine Berger
• Direction : Edouard Oudet, Bruno Colbois
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 21/05/2015
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes (ComUE) en cotutelle avec Université de Neuchâtel (Neuchâtel, Suisse)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jean Kuntzmann (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Antoine Henrot
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Edouard Oudet, Bruno Colbois, Olivier Besson
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Ahmad El Soufi, Pedro Freitas

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse numérique

Équations aux dérivées partielles

Laplacien

Valeurs propres

Optimisation mathématique

Mots clés libres

Laplacien

Condition de Dirichlet

Condition de Neumann

Valeurs propres

Optimisation spectrale

Optimisation de formes

Approximation numérique

Laplacian

Dirichlet condition

Neumann condition

Eigenvalues

Spectral optimization

Shape optimization

Numerical approximation

Résumé

Le problème de l'optimisation des valeurs propres du Laplacien est ancien puisqu'à la fin du XIXème siècle Lord Rayleigh conjecturait que la première valeur propre avec condition de Dirichlet était minimisée par le disque. Depuis le problème a été beaucoup étudié. Et les possibilités de recherches sont multiples : diverses conditions, ajout de contraintes, existence, description des optima ... Dans ce document on se limite aux conditions de Dirichlet et de Neumann, dans R^2 et dans R^3. On procède dans un premier temps à un état de l'art. On se focalise ensuite sur les disques et les boules. En effet, ils font partie des rares formes pour lesquelles il est possible de calculer explicitement et relativement facilement les valeurs propres. On verra malheureusement que ces formes ne sont la plupart du temps pas des minimiseurs. Enfin on s'intéresse aux simulations numériques possibles. En effet, puisque peu de calculs théoriques peuvent être faits il est intéressant d'obtenir numériquement des candidats. Cela permet ensuite d'avoir des hypothèses de travail théorique. `{A} cet effet nous donnerons des éléments de compréhension sur une méthode de simulation numérique ainsi que des résultats obtenus.

The optimization of Laplacian eigenvalues is a classical problem. In fact, at the end of the nineteenth century, Lord Rayleigh conjectured that the first eigenvalue with Dirichlet boundary condition is minimized by a disk. This problem received a lot of attention since this first study and research possibilities are numerous: various conditions, geometrical constraints added, existence, description of optimal shapes... In this document we restrict us to Dirichlet and Neumann boundary conditions in R^2 and R^3. We begin with a state of the art. Then we focus our study on disks and balls. Indeed, these are some of the only shapes for which it is possible to explicitly and relatively easily compute the eigenvalues. But we show in one of the main result of this document that they are not minimizers for most eigenvalues. Finally we take an interest in the possible numerical experiments. Since we can do very few theoretical computations, it is interesting to get numerical candidates. Then we can deduce some theoretical working assumptions. With this in mind we give some keys to understand our numerical method and we also give some results obtained.