Quelques résultats d'équivalence asymptotique pour des expériences statistiques dans un cadre non paramétrique

Some results of asymptotic equivalence for nonparametric statistical experiments

• Auteur / Autrice : Ester Mariucci
• Direction : Sana Louhichi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Appliquées
• Date : Soutenance le 16/09/2015
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jean Kuntzmann (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Valentine Genon-Catalot
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sana Louhichi, Pierre Etoré, Anatoli Juditsky
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Ion Grama, Marc Hoffmann

Mots clés

Mots clés contrôlés

Processus stochastiques

Inférence

Distances

Statistique non paramétrique

Statistique mathématique -- Théorie asymptotique

Processus de diffusion

Mots clés libres

Distance de Le Cam

Processus de Lévy

Processus de diffusion

Estimation non paramétrique

Le Cam distance

Lévy processes

Diffusion processes

Nonparametric estimation

Résumé

Nous nous intéressons à l'équivalence asymptotique, au sens de Le Cam, entre différents modèles statistiques. Plus précisément, nous avons exploré le cas de modèles statistiques associés à l'observation discrète de processus à sauts ou de diffusions unidimensionnelles, ainsi que des modèles à densité plus classiques.Ci-dessous, nous présentons brièvement les différents chapitres de la thèse.Nous commençons par présenter tous nos résultats dans un premier chapitre introductif. Ensuite, dans le Chapitre 2 nous rappelons les points clés de la théorie de Le Cam sur les expériences statistiques en se plaçant dans un contexte non paramétrique.Les Chapitres 3 et 4 traitent de l'équivalence asymptotique pour des modèles statistiques associés à l'observation discrète (haute fréquence) de processus à sauts. Dans un premier temps nous nous focalisons sur un problème d'équivalence en ce qui concerne l'estimation de la dérive, supposée appartenir à une certaine classe fonctionnelle. Il s'avère (Chapitre 3) qu'il y a une équivalence asymptotique, en ce qui concerne l'estimation de la dérive, entre le modèle statistique associé à l'observation discrète d'un processus additif X et le modèle statistique gaussien associé à l'observation discrète de la partie continue de X.Dans un deuxième temps, nous nous sommes intéressés au problème de l'estimation non paramétrique de la densité de Lévy f relative à un processus de Lévy à sauts purs, Y. Le Chapitre 4 illustre l'équivalence asymptotique, en ce qui concerne l'estimation de f, entre le modèle statistique associé à l'observation discrète de Y et un certain modèle de bruit blanc gaussien ayant sqrt f comme dérive.Le Chapitre 5 présente une extension d'un résultat bien connu sur l'équivalence asymptotique entre un modèle à densité et un modèle de bruit blanc gaussien.Le Chapitre 6 étudie l'équivalence asymptotique entre un modèle de diffusion scalaire avec une dérive inconnue et un coefficient de diffusion qui tend vers zéro et le schéma d'Euler correspondant.Dans le Chapitre 7 nous présentons une majoration en distance L1 entre les lois de processus additifs.Le Chapitre 8 est consacré aux conclusions et discute des extensions possibles des travaux de thèse.

The subject of this Ph.D. thesis is the asymptotic equivalence, in the Le Cam sense, between different statistical models. Specifically, we explore the case of statistical models associated with the discrete observation of jump processes or diffusion processes as well as more classical density models.Below, we briefly introduce the different chapters of this dissertation.We begin by presenting our results in a first introductory chapter. Then, in Chapter 2, we recall the key points of the Le Cam theory on statistical experiences focusing on a nonparametric context.Chapters 3 and 4 deal with asymptotic equivalences for statistical models associated with discrete observation (high frequency) of jump processes. First, we focus on an equivalence problem regarding the estimation of the drift, assumed to belong to a certain functional class. It turns out (Chapter 3) that there is an asymptotic equivalence, for what concerns the estimation of the drift, between the statistical model associated with the discrete observation of an additive process X and the Gaussian statistical model associated with the discrete observation of the continuous part of X. Then we study the problem of nonparametric density estimation for the Lévy density f of a pure jump Lévy process Y. Chapter 4 illustrates the asymptotic equivalence, for what concerns the estimation of f, between the statistical model associated with the discrete observation of Y and a certain Gaussian white noise model having sqrt f as drift.In Chapter 5 we present an extension of the well-known asymptotic equivalence between density estimation experiments and a Gaussian white noise model.Chapter 6 describes the asymptotic equivalence between a scalar diffusion model with unknown drift and with diffusion coefficient tending to zero and the corresponding Euler scheme. In Chapter 7 we present a bound for the L1 distance between the laws of additive processes.Chapter 8 is devoted to conclusions and discusses possible extensions of the results of this thesis.