Thèse soutenue

Nouvelles méthodes de régularisation du problème inverse d'estimlation de paramètres dans des équations différentielles ordinaires
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Auteur / Autrice : Quentin Clairon
Direction : Pierre Gilles Lemarié
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 09/04/2015
Etablissement(s) : Evry-Val d'Essonne
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et Ingénierie (Evry ; 2008-2015)
Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nicolas Brunel
Rapporteurs / Rapporteuses : Adeline Leclercq-Samson, Emmanuel Trélat

Résumé

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Nous présentons dans cette thèse deux méthodes de régularisation du problème d’estimationde paramètres dans des équations différentielles ordinaires (EDOs). La première est une extensionde la méthode two-step, permettant d’obtenir une expression de la variance asymptotique etd’éviter l’usage de la derivée de l’estimateur non-paramétrique. Elle fait appel à la notion desolution faible et propose une caractérisation variationnelle de la solution de l’EDO. Ce faisant,elle identifie le vrai ensemble de paramètres comme celui respectant un ensemble de moments,fonctions plus régulières des paramètres que le critère des moindre carrés. Cette formulationgénérale permet de définir un estimateur s’appliquant à une large classe d’équations différentielles,et pouvant incorporer des informations supplémentaires disponibles sur la solution de l’EDO. Cesarguments, confortés par les resultats numériques obtenus, en font une approche compétitive parrapport aux moindres carrés. Néanmoins, cet estimateur nécessite l’observation de toutes lesvariables d’état.La seconde méthode s’applique également au cas partiellement observé. Elle régularise leproblème inverse par relaxation de la contrainte imposée par l’EDO en replaçant l’équationoriginale par une version perturbée. L’estimateur est ensuite défini à travers la minimisation d’uncoût profilé sur l’ensemble des perturbations possibles et pénalisant la distance entre le modèleinitial et le modèle perturbé. Cette approche introduit un problème d’optimisation en dimensioninfinie résolu grâce à un résultat fondamental de la théorie du contrôle optimal, le principedu maximum de Pontryagin. Il permet de ramener la résolution du problème d’optimisationà l’intégration d’une EDO avec condition aux bords. Ainsi, nous avons obtenu un estimateurimplémentable et que nous avons démontré consistent. Un intérêt particulier est porté au cas desEDOs linéaires pour lequel nous avons démontré la vitesse de convergence paramétrique et lanormalité asymptotique de notre estimateur. En outre, nous disposons d’une expression simplifiéedu coût profilé, ce qui facilite l’implémentation numérique de notre estimateur. Ces résultats sontdus à la théorie linéaire-quadratique, derivée du principe du maximum de Pontryagin dans lecas linéaire, elle assure l’existence, l’unicité et donne une expression simple de la solution duproblème d’optimisation définissant notre estimateur. A travers des exemples numériques nousavons montré que notre estimateur est compétitif avec les moindres carrés et le lissage généralisé,en particulier en présence d’une mauvaise spécification de modèle grâce à la relaxation du modèleoriginal introduite dans notre approche. Enfin, notre méthode d’estimation par utilisation de lathéorie du contrôle optimal offre un cadre pertinent pour traiter des problèmes d’analyse dedonnées fonctionnelles, ceci est illustré à travers un exemple dans le cas linéaire.