Traitement du signal sur graphes - Contributions à un domaine émergent

Signal Processing on Graphs - Contributions to an Emerging Field

• Auteur / Autrice : Benjamin Girault
• Direction : Éric Fleury
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 01/12/2015
• Etablissement(s) : Lyon, École normale supérieure
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon (2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : DANTE / LIP Laboratoire de l'Informatique du Parallélisme Lyon / Inria Grenoble Rhône-Alpes / IXXI Institut rhône-alpin des systèmes complexes - Laboratoire de l'informatique du parallélisme (Lyon ; 1988-....)
• Jury : Président / Présidente : Aurélien Garivier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Éric Fleury, Aurélien Garivier, Rémi Gribonval, Matthieu Latapy, Paulo Gonçalvès, Renaud Lambiotte
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Rémi Gribonval, Matthieu Latapy

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse stochastique

Théorie des graphes

Traitement du signal

Mots clés libres

Traitement du signal sur graphe

Translation sur graphe

Analyse de graphe

Signaux sur graphe aléatoires

Stationarité

Graph signal processing

Graph translation

Graph analysis

Stochastic graph signals

Stationarity

Résumé

Ce manuscrit introduit dans une première partie le domaine du traitement du signal sur graphe en commençant par poser les bases d'algèbre linéaire et de théorie spectrale des graphes. Nous définissons ensuite le traitement du signal sur graphe et donnons des intuitions sur ses forces et faiblesses actuelles comparativement au traitement du signal classique. En seconde partie, nous introduisons nos contributions au domaine. Le chapitre 4 cible plus particulièrement l'étude de la structure d'un graphe par l'analyse des signaux temporels via une transformation graphe vers série temporelle. Ce faisant, nous exploitons une approche unifiée d'apprentissage semi-supervisé sur graphe dédiée à la classification pour obtenir une série temporelle lisse. Enfin, nous montrons que cette approche s'apparente à du lissage de signaux sur graphe. Le chapitre 5 de cette partie introduit un nouvel opérateur de translation sur graphe définit par analogie avec l'opérateur classique de translation en temps et vérifiant la propriété clé d'isométrie. Cet opérateur est comparé aux deux opérateurs de la littérature et son action est décrite empiriquement sur quelques graphes clés. Le chapitre 6 décrit l'utilisation de l'opérateur ci-dessus pour définir la notion de signal stationnaire sur graphe. Après avoir étudié la caractérisation spectrale de tels signaux, nous donnons plusieurs outils essentiels pour étudier et tester cette propriété sur des signaux réels. Le dernier chapitre s'attache à décrire la boite à outils \matlab développée et utilisée tout au long de cette thèse.

This dissertation introduces in its first part the field of signal processing on graphs. We start by reminding the required elements from linear algebra and spectral graph theory. Then, we define signal processing on graphs and give intuitions on its strengths and weaknesses compared to classical signal processing. In the second part, we introduce our contributions to the field. Chapter 4 aims at the study of structural properties of graphs using classical signal processing through a transformation from graphs to time series. Doing so, we take advantage of a unified method of semi-supervised learning on graphs dedicated to classification to obtain a smooth time series. Finally, we show that we can recognize in our method a smoothing operator on graph signals. Chapter 5 introduces a new translation operator on graphs defined by analogy to the classical time shift operator and verifying the key property of isometry. Our operator is compared to the two operators of the literature and its action is empirically described on several graphs. Chapter 6 describes the use of the operator above to define stationary graph signals. After giving a spectral characterization of these graph signals, we give a method to study and test stationarity on real graph signals. The closing chapter shows the strength of the matlab toolbox developed and used during the course of this PhD.