Interacting Hopf Algebras - la théorie des systèmes linéaires

Interacting Hopf Algebras- the Theory of Linear Systems

• Auteur / Autrice : Fabio Zanasi
• Direction : Daniel Hirschkoff
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 05/10/2015
• Etablissement(s) : Lyon, École normale supérieure
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de l'informatique du parallélisme (Lyon ; 1988-....)
• Jury : Président / Présidente : Prakash Panangaden
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Daniel Hirschkoff, Prakash Panangaden, Samson Abramsky, Pierre-Louis Curien, Filippo Bonchi, Samuel Mimram
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Samson Abramsky, Peter Selinger, Pierre-Louis Curien

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algèbre linéaire

Algèbres de Frobenius

Hopf, Algèbres de

Sémantique

Catégories (mathématiques)

Mots clés libres

Sémantique

Théorie des catégories

Théorie du contrôle

PROP

Loi distributive

Algèbre de Hopf

Algèbre de Frobenius

Algèbre linéaire

Graphe de flots de signaux

Semantics

Category theory

Control theory

PROP

Distributive law

Hopf algebra

Frobenius algebra

Linear algebra

Signal flow graph

Résumé

Dans cette thèse, on présente la théorie algébrique IH par le biais de générateurs et d’équations.Le modèle libre de IH est la catégorie des sous-espaces linéaires sur un corps k. Les termes de IH sont des diagrammes de cordes, qui, selon le choix de k, peuvent exprimer différents types de réseaux et de formalismes graphiques, que l’on retrouve dans des domaines scientifiques divers, tels que les circuits quantiques, les circuits électriques et les réseaux de Petri. Les équations de IH sont obtenues via des lois distributives entre algèbres de Hopf – d’où le nom “Interacting Hopf algebras” (algèbres de Hopf interagissantes). La caractérisation via les sous-espaces permet de voir IH comme une syntaxe fondée sur les diagrammes de cordes pour l’algèbre linéaire: les applications linéaires, les espaces et leurs transformations ont chacun leur représentation fidèle dans le langage graphique. Cela aboutit à un point de vue alternatif, souvent fructueux, sur le domaine.On illustre cela en particulier en utilisant IH pour axiomatiser la sémantique formelle de circuits de calculs de signaux, pour lesquels on s’intéresse aux questions de la complète adéquation et de la réalisabilité. Notre analyse suggère un certain nombre d’enseignements au sujet du rôle de la causalité dans la sémantique des systèmes de calcul.

We present by generators and equations the algebraic theory IH whose free model is the category oflinear subspaces over a field k. Terms of IH are string diagrams which, for different choices of k, expressdifferent kinds of networks and graphical formalisms used by scientists in various fields, such as quantumcircuits, electrical circuits and Petri nets. The equations of IH arise by distributive laws between Hopfalgebras - from which the name interacting Hopf algebras. The characterisation in terms of subspacesallows to think of IH as a string diagrammatic syntax for linear algebra: linear maps, spaces and theirtransformations are all faithfully represented in the graphical language, resulting in an alternative, ofteninsightful perspective on the subject matter. As main application, we use IH to axiomatise a formalsemantics of signal processing circuits, for which we study full abstraction and realisability. Our analysissuggests a reflection about the role of causality in the semantics of computing devices.