Thèse soutenue

Théorie ergodique des actions de groupes et algèbres de von Neumann
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Auteur / Autrice : Alessandro Carderi
Direction : Damien Gaboriau
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématique
Date : Soutenance le 23/06/2015
Etablissement(s) : Lyon, École normale supérieure
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Unité de Mathématiques Pures et Appliquées (Lyon ; 1991-....)
Jury : Président / Présidente : Bachir Bekka
Examinateurs / Examinatrices : Damien Gaboriau, Bachir Bekka, Narutaka Ozawa, Cyril Houdayer, Todor Tsankov
Rapporteurs / Rapporteuses : Narutaka Ozawa, Miklós Abert

Résumé

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Dans cette thèse, on s'intéresse à la théorie mesurée des groupes, à l'entropie sofique et aux algèbres d'opérateurs ; plus précisément, on étudie les actions des groupes sur des espaces de probabilités, des propriétés fondamentales de leur entropie sofique (pour des groupes discrets), leurs groupes pleins (pour des groupes Polonais), et les algèbres de von Neumann et leurs sous-algèbres moyennables (pour des groupes à caractère hyperbolique et des réseaux de groupes de Lie). Cette thèse est constituée de trois parties.Dans une première partie j'étudie l'entropie sofique des actions profinies. L'entropie sofique est un invariant des actions mesurées des groupes sofiques défini par L. Bowen qui généralise la notion d'entropie introduite par Kolmogorov. La définition d'entropie sofique nécessite de fixer une approximation sofique du groupe. Nous montrons que l'entropie sofique des actions profinies est effectivement dépendante de l'approximation sofique choisie dans le cas des groupes libres et certains réseaux de groupes de Lie.La deuxième partie est un travail en collaboration avec François Le Maître. Elle est constituée d'un article prépublié dans lequel nous généralisons la notion de groupe plein aux actions préservant une mesure de probabilité des groupes polonais, et en particulier, des groupes localement compacts. On définit une topologie polonaise sur ces groupes pleins et on étudie leurs propriétés topologiques fondamentales, notamment leur rang topologique et la densité des éléments apériodiques.La troisième partie est un travail en collaboration avec Rémi Boutonnet. Elle est constituée de deux articles prépubliés dans lesquels nous considérons la question de la maximalité de la sous-algèbre de von Neumann d'un sous-groupe moyennable maximal, dans celle du groupe ambiant. Nous résolvons la question dans le cas des groupes à caractère hyperbolique en utilisant les techniques de Sorin Popa. Puis, nous introduisons un critère dynamique à la Furstenberg, permettant de résoudre la question pour des sous-groupes moyennables de réseaux des groupes de Lie en rang supérieur.