Sur les barrières des systèmes non linéaires sous contraintes avec une application aux systèmes hybrides

On Barriers in Constrained Nonlinear Systems with an Application to Hybrid Systems

• Auteur / Autrice : Willem Esterhuizen
• Direction : Jean Lévine
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématique et automatique
• Date : Soutenance le 18/12/2015
• Etablissement(s) : Paris, ENMP
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences des métiers de l'ingénieur (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre automatique et systèmes (Fontainebleau, Seine et Marne)
• Jury : Président / Présidente : Emmanuel Trélat
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean Lévine, Pierre Carpentier, Thomas Meurer
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : José De Dona

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes non linéaires

Mots clés libres

Barrières

Systèmes non linéaires

Ensemble admissible

Barriers

Nonlinear systems

Admissible set

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de la théorie des barrières pour les systèmes non linéaires sous contraintes d'entrées et d'état. La principale contribution concerne la généralisation au cas de contraintes mixtes, c'est-à-dire dépendant des entrées et de l'état de façon couplée. Ce type de contraintes apparaît souvent dans les applications et dans les systèmes différentiellement plats sous contraintes. On prouve un théorème du type principe du minimum qui permet de construire la barrière et l'ensemble admissible associé. De plus, dans le cas d'intersection de plusieurs trajectoires ainsi construites, on démontre que les points intersections transversaux sont des points d'arrêt de la barrière. Ces résultats sont utilisés pour calculer l'ensemble admissible d'un pendule inversé avec un câble non-rigide monté sur un chariot, la contrainte correspondant au fait que le câble reste tendu. Ce problème correspond en fait à la détermination de l'ensemble potentiellement sûr dans le cadre des systèmes hybrides.

This thesis deals with the theory of barriers in input and state constrained nonlinear systems. Our main contribution is a generalisation to the case where the constraints are mixed, that is they depend on both the input and the state in a coupled way. Constraints of this type often appear in applications, as well as in constrained flat systems. We prove a minimum-like principle that allows the construction of the barrier and the associated admissible set. Moreover, in case of intersection of some of the trajectories involved in this principle, we prove that such transversal intersection points are stopping points of the barrier.We demonstrate the utility of all the theoretical contributions by finding the admissible set for the inverted pendulum on a cart with a non-rigid cable, the constraint being that the cable remains taut. Note that this problem corresponds to the determination of potentially safe sets in hybrid systems.