Thèse soutenue

Nombres de Schur classiques et faibles
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Auteur / Autrice : Fanasina Alinirina Rafilipojaona
Direction : Shalom Eliahou
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 10/07/2015
Etablissement(s) : Littoral
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques pures et appliquées (Calais, Pas de Calais) - Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph Liouville / LMPA
Jury : Président / Présidente : Nicolas Thiéry
Examinateurs / Examinatrices : Shalom Eliahou, Loïc Foissy, Denis Robilliard, Florent Hivert
Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Paul Allouche, Sukumar Das Adhikari

Mots clés

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Résumé

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Le thème central de cette thèse porte sur des partitions en n parties de l'intervalle entier [1, N] = {1,2,...,N} excluant la présence, dans chaque partie, de solution de l'équation x + y = z dans le cas classique, ou seulement de telles solutions avec x ≠ y dans le cas faible. Pour n donné, le plus grand N admissible dans le cas classique se note S(n) et s'appelle le n-ème nombre de Schur ; dans le cas faible, il se note WS(n) et s'appelle le n-ème nombre de Schur faible. Bien qu'introduits il y a plusieurs décénnies déjà, et même il y a un siècle dans le cas classique, on ne sait encore que très peu de choses au sujet de ces nombres. En particulier, S(n) et WS(n) ne sont exactement connus que pour n ≤ 4. Cette thèse est composée de deux chapitres : le premier revisite des encadrements connus sur les nombres de Schur classiques et faibles, et le second est consacré à la construction de nouveaux minorants des nombres de Schur faibles WS(n) pour n = 7, 8 et 9. Nous introduisons, dans le premier chapitre, les ensembles t-libres de sommes, t ∊ ℕ, dont l'utilisation permet de généraliser et d'unifier diverses démonstrations de majorants des S(n) et WS(n). Nous obtenons également une relation entre WS(n + 1) et WS(n). Dans le second chapitre, nous initions l'étude de certaines partitions hautement structurées présentant un potentiel intéressant pour le problème de minorer les nombres WS(n). Effectivement, avec des algorithmes de recherche ne portant que sur ces partitions, nous retrouvons les meilleurs minorants connus sur WS(n) pour 1 ≤ n ≤ 6, et nous améliorons significativement ceux pour 7 ≤ n ≤ 9.