Analyse asymptotique de systèmes hyperboliques quasi-linéaires du premier ordre

Asymptotic analysis of first-order quasilinear hyperbolic systems

• Auteur / Autrice : Victor Wasiolek
• Direction : Yue-Jun Peng
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Appliquées
• Date : Soutenance le 29/05/2015
• Etablissement(s) : Clermont-Ferrand 2
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale des sciences fondamentales (Clermont-Ferrand)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques appliquées (Clermont-Ferrand ; 1992-1995) - Laboratoire de Mathématiques Blaise Pascal / LMBP
• Jury : Président / Présidente : François Bouchut
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Yue-Jun Peng, Youcef Amirat, Nicolas Seguin
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Jean-François Coulombel, Olivier Gues

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes hyperboliques

Mots clés libres

Système hyperbolique quasi-linéaire du premier ordre

Existence locale uniforme

Existence globale uniforme

Étude asymptotique

First-order quasilinear hyperbolic system

Uniform local existence

Uniform global existence

Asymptotic analysis

Résumé

Les systèmes hyperboliques interviennent dans de nombreuses branches des sciences : théorie cinétique, mécanique des fluides non visqueux, magnéto hydrodynamique, dynamique des gaz non visqueux, trafic routier, flux d’une rivière ou d’un glacier, processus de sédimentation, processus d’échanges chimiques, etc. Et souvent, les systèmes qui régissent ces évènements font intervenir des petits paramètres, dont l’étude asymptotique permet d’envisager des simplifications mathématiques et/ou informatiques notoires. L’existence locale et l’existence globale de solutions, uniformément par rapport à ces paramètres, sont des questions fondamentales. Cette thèse regroupe à la fois des résultats généraux sur l’existence locale uniforme de solutions pour des systèmes hyperboliques quasi-linéaires du premier ordre ; et sur l’existence globale uniforme de solutions autour d’un équilibre constant pour ces mêmes systèmes. Le cas du système d’Euler-Maxwell ne satisfaisant pas les conditions requises pour l’existence uniforme globale, nous le traitons à part.

Hyperbolic systems arise in a large field of sciences : kinetic theory, inviscid reactive flow, magnetohydrodynamics, inviscid gas dynamics, traffic flow, river or glacier flow, sedimentation processes, chemical exchange processes, etc. In these kind of systems, small paramaters often appear, and an asymptotic study may lead to mathematical or computational simplifications. One fundamental problem that we may work on is local and global existence of solutions for these systems, uniformly with respect to these parameters. This Ph.D. thesis includes, on one hand, general results on uniform local existence of solutions for first order quasi-linear hyperbolic systems ; and on the other hand, results on uniform global existence of solutions near constant equilibriums for these same systems. In the case of Euler-Maxwell systems, required conditions are not fulfilled for uniform global existence, then we treat it separately.