EdP géometriques pour le traitement et la classification de données sur graphes

Geometric PdEs for data processing and classification on graphs

• Auteur / Autrice : Matthieu Toutain
• Direction : Abderrahim Elmoataz
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique et applications
• Date : Soutenance en 2015
• Etablissement(s) : Caen
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale structures, informations, matière et matériaux (Caen1992-2016)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Groupe de recherche en informatique, image, automatique et instrumentation de Caen (1995-....)
• Jury : Président / Présidente : Patrice Abry
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Abderrahim Elmoataz, Patrice Abry, Gabriel Peyré, Hugues Talbot, Mahmoud Melkemi, Jalal Fadili, Loïc Simon
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Gabriel Peyré, Hugues Talbot

Mots clés

Mots clés contrôlés

Informatique

Ensembles de niveaux, Méthodes d'

Traitement d'images -- Techniques numériques

Laplacien

Équations aux différences

Résumé

Les équations aux dérivées partielles (EDPs) jouent un rôle clé dans la modélisation mathématiques des phénomènes en sciences appliquées. En en traitement et analyse d'image et en vision par ordinateur, les EDPs géométriques ont été utilisées avec succès pour résoudre différents problèmes, tels que la restauration, la segmentation, l'inpainting, etc. De nos jours, de plus en plus de données sont collectées sous la forme de graphes ou réseaux, ou de fonctions définies sur ces réseaux. Il y a donc un intérêt à étendre les EDPs pour traiter des données irrégulières ou des graphes de topologies arbitraires. Les travaux de cette thèse s'inscrivent dans ce contexte. Ils traitent précisément des EDPs géométriques pour le traitement et la classification de données sur graphes. Dans une première partie, nous proposons une adaptation du SpS-Laplacien normalisé sur graphes pondérés de topologie arbitraire en utilisant le cadre des équations aux différences partielles (EdPs). Cette adaptation nous permet d'introduire une nouvelle classe de SpS-Laplacien sur graphe sous la forme d'une non-divergence. Nous introduisons aussi dans cette partie une formulation du SpS-Laplacien sur graphe définie comme une combinaison convexe de gradient. Nous montrons que cette formulation unifie et généralise différents opérateurs de différences sur graphe existants. Nous utilisons ensuite cet opérateur à travers l'équation de Poisson afin de calculer des distances généralisées sur graphe. Dans une deuxième partie, nous proposons d'appliquer les opérateurs sur graphes que nous avons proposés pour les tâches de classification semi-supervisée et de clustering, et de les comparer aux opérateurs sur graphes existants ainsi qu'a certaines méthodes de la littérature, telles que le Multiclass Total Variation clustering (MTV), le clustering par nonnegative matrix factorization (NMFR), ou encore la méthode INCRES.

Partial differential equations (PDEs) play a key role in the mathematical modelization of phenomena in applied sciences. In particular, in image processing and computer vision, geometric PDEs have been successfuly used to solve many problems, such as image restoration, segmentation, inpainting, etc. Nowadays, more and more data are collected as graphs or networks, or functions defined on these networks. Knowing this, there is an interest to extend PDEs to process irregular data or graphs of arbitrary topology. The presented work follows this idea. More precisely, this work is about geometric partial difference equations (PdEs) for data processing and classification on graphs. In the first part, we propose a transcription of the normalized SpSLaplacian on weighted graphs of arbitrary topology by using the framework of PdEs. This adaptation allows us to introduce a new class of SpSaplacian on graphs as a non-divergence form. In this part, we also introduce a formulation of the SpSaplacian on graphs defined as a convex combination of gradient terms. We show that this formulation unifies and generalize many existing difference operators defined on graphs. Then, we use this operator with the Poisson equation to compute generalized distances on graphs. In the second part, we propose to apply the operators on graphs we defined, for the tasks of semi-supervised classification and clustering. We compare them to existing graphs operators and to some of the state of the art methods, such as Multiclass Total Variation clustering (MTV), clustering by non-negative matrix factorization (NMFR) or the INCRES method.