Algèbres amassées et théorie des représentations

Cluster algebras and representation theory

• Auteur / Autrice : Anne-Sophie Gleitz
• Direction : Bernard Leclerc
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance en 2015
• Etablissement(s) : Caen
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale structures, informations, matière et matériaux (Caen ; 1992-2016)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme (Caen2002-....)
• Jury : Président / Présidente : David Hernandez
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bernard Leclerc, David Hernandez, Vladimir Fock, David Hernandez, Pierre Baumann, Vincent Pilaud
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Vladimir Fock, David Hernandez

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algèbres amassées

Modules de Kirillov-Reshetikhin

Combinatoire algébrique

Algèbres de lacets quantiques

Systèmes dynamiques

Représentations de groupes quantiques

Lie, Algèbres de

Résumé

Dans cette thèse, nous abordons deux problèmes alliant combinatoire et théorie des représentations. Kuniba, Nakanishi et Suzuki ont formulé une conjecture qui exprime la solution positive d'un système d'équations algébriques appelé Q-système restreint, en fonction des dimensions quantiques de certaines représentations irréductibles des algèbres quantiques affines correspondantes, appelées modules de Kirillov-Reshetikhin. Nous démontrons ce résultat pour le type exceptionnel E_6, puis donnons une preuve partielle pour les types E_7 et E_8. En particulier, nous réduisons la positivité à une conjecture de log-concavité itérée pour des suites explicites de nombres algébriques. Les algèbres amassées, introduites par Fomin et Zelevinsky, permettent de mieux visualiser les relations entre Q-systèmes et modules de Kirillov-Reshetikhin. Hernandez et Leclerc ont démontré que l'anneau de Grothendieck d'une sous-catégorie tensorielle des représentations de dimension finie d'une algèbre quantique affine admet une structure d'algèbre amassée, dont les graines sont liées aux analogues affines des Q-systèmes, appelés T-systèmes. Dans l'esprit de ces travaux, nous démontrons, en type A_1, que l'anneau de Grothendieck d'une certaine sous-catégorie des représentations de dimension finie de l'algèbre quantique affine spécialisée à une racine de l'unité est isomorphe à une variante des algèbres amassées introduite par Chekhov et Shapiro, appelée algèbre amassée généralisée, de type fini C. Nous conjecturons un résultat similaire en type A_2, où nous donnons une graine initiale explicite, qui n'est en général pas de type fini.

In this thesis, we focus on two questions arising from combinatorics and representation theory. Kuniba, Nakanishi and Suzuki have formulated a conjecture that expresses the positive solution of a system of algebraic equations, called a restricted Q-system, in terms of the quantum dimensions of some particular irreducible representations of the corresponding quantum affine algebras, called Kirillov-Reshetikhin modules. We prove this result for the exceptional type E_6, and give partial proofs for types E_7 and E_8. We reduce positivity to the conjectural iterated log-concavity of certain explicit sequences of real algebraic numbers. Cluster algebras, introduced by Fomin and Zelevinsky, give us a better view of the relations between Q-systems and Kirillov-Reshetikhin modules. Hernandez and Leclerc have proved that the Grothendieck ring of a certain tensor subcategory of finite-dimensional representations of a quantum affine algebra has a cluster structure, whose seeds are closely related to the affine analogues of the Q-systems, called T-systems. In the spirit of this work, we prove, in type A_1, that the Grothendieck ring of a certain tensor subcategory of finite-dimensional representations of the quantum affine algebra specialised at root of unity, is isomorphic to a variant of cluster algebras, introduced by Chekhov and Shapiro, called a generalised cluster algebra, of finite type C. We state a similar conjecture in type A_2, where we give an explicit seed, which is in general no longer of finite type.