Etude de la bornitude des transformées de Riesz sur Lp via le Laplacien de Hodge-de Rham

Boundedness of the Riesz transforms on Lp via the Hodge-de Rham Laplacian

• Auteur / Autrice : Jocelyn Magniez
• Direction : El Maati Ouhabaz
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques pures
• Date : Soutenance le 06/11/2015
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : David Lannes
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marc Arnaudon, Frédéric Bernicot, Colin Guillarmou, Emmanuel Russ
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Thierry Coulhon

Mots clés

Mots clés contrôlés

De Rham, Cohomologie de

Hodge, Théorie de

Noyau de la chaleur

Transformation de Riesz

Laplacien

Schrödinger, Opérateur de

Riemann, Variétés de

Mots clés libres

Variété riemanienne,

Opérateurs de Schrödinger,

Laplacien de Hodge-de Rham

Transformées de Riesz

Régularité de Sobolev

Noyaux de la chaleur

Estimées hors-diagonales.

Riemannian manifolds

Schrödinger operators

Hodge-de Rham Laplacian

Riesz transforms

Sobolev regularity

Heat kernels

Off-diagonal estimates

Résumé

Cette thèse comporte deux sujets d’étude mêlés. Le premier concerne l’étude de la bornitude sur Lp de la transformée de Riesz d∆-½ , où ∆ désigne l’opérateur de Laplace-Beltrami (positif). Le second traite de la régularité de Sobolev W1,p de la solution de l’équation de la chaleur non perturbée. Nous établissons également quelques résultats concernant les transformées de Riesz d’opérateurs de Schrödinger avec un potentiel comportant éventuellement une partie négative.Dans le cadre de ces travaux, nous nous plaçons sur une variété riemanienne (M, g) complète et non compacte. Nous supposons que M satisfait la propriété de doublement de volume (de constante de doublement égale à D) ainsi qu’une estimation gaussienne supérieure pour son noyau de la chaleur (celui associé à l’opérateur ∆). Nous travaillons avec le laplacien de Hodge-de Rham, noté ∆, agissant sur les 1-formes différentielles de M. En s’appuyant sur la formule de Bochner, liant ∆ à la courbure de Ricci de M, nous assimilons ∆ à un opérateur de Schrödinger à valeurs vectorielles. C’est un argument de dualité, basé sur une formule de commutation algébrique, qui lie l’étude de ∆ à celle de ∆. [...]

This thesis has two main parts. The first one deals with the study of the boundedness on Lp of the Riesz transform d∆-½ , where ∆ denotes the nonnegative Laplace-Beltrami operator. The second one deals with the Sobolev regularity W1,p of the solution of the heat equation. We also establish some results on the Riesz transforms of Schrödinger operators with a potential possibly having a negative part. In this work, we consider a complete non-compact Riemannian manifold (M, g). We assume that M satisfies the volume doubling property (with doubling constant equal to D) as well as a Gaussian upper estimate for its heat kernel associated to the operator ∆. We work with the Hodge-de Rham Laplacian ∆, acting on 1-differential forms of M. With the Bochner formula, linking ∆to the Ricci curvature of M, we see ∆ has a vector-valued Schrödinger operator. It is a duality argument, based on a commutation formula, which links the study of ∆to the one of ∆. [...]