Sur certains problèmes de surfaces algébriques

On certain problems of algebraic surfaces

• Auteur / Autrice : Yi Gu
• Direction : Qing Liu, Jinxing Cai
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Soutenance le 23/06/2015
• Etablissement(s) : Bordeaux en cotutelle avec Université de Pékin
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Xiaotao Sun
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Yuguang Shi, Chenyang Xu, Baohua Fu
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jilong Tong

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie algébrique

Euler, Équations d'

Surfaces algébriques

Mots clés libres

Surface

Amplitude

Diviseur canonique

Caractéristique d'Euler

Surface

Ample

Canonical divisor,

Euler characteristic

Résumé

La thèse est constituée de deux parties. La première concerne la très amplitude du diviseur canonique relatif, tandis que la seconde traite de la positivité de la caractéristique d'Euler de surfaces.Dans la première partie, on se donne une courbe régulière propre sur un anneau de Dedekind (dont les corps résiduels aux points fermés sont parfaits), de fibre générique de genre plus grand ou égal à 2. Après contractions de certains diviseurs verticaux, on obtient son modèle canonique. On montre que toute puissance tensorielle supérieure ou égale à 3 du faisceau dualisant relatif sur le modèle canonique est très ample. Ceci améliore un résultat de Jongmin Lee.Dans la deuxième partie, pour tout nombre premier p différent de 2, nous montrons qu'il existe une constante positive k_p, telle que pour toute surface projective lisse X de type général définie sur un corps algébriquement clos de caractéristique p, on ait l'inégalité \xi(O_X) ≥ k_pc_1^2(X).

This thesis is divided into 2 parts. The first part concerns with the amplitude of relative canonical divisors, and the second part deals with the positivity of the Euler characteristics of surfaces.In the first part, given a minimal arithmetic surface over a Dedekind ring whose residue fields at closed points are perfect, suppose the general fibre has genus at least 2, after contracting some vertical divisor, we will obtain its canonical model. We prove in this part that 3 or more times the relative canonical divisor of this canonical model is very ample. This simplifies and generalizes a result of Jongmin Lee.In the second part, we prove that for all prime numbers p>2, there is a positive number k_p, such that \xi(O_X) ≥ k_p c_1^2(X) holds true for all algebraic surfaces X of general type in characteristic p. In particular, \xi(O_X)>0. This answers a question of N. Shepherd Barron when p>2.