Solutions grandes pour opérateurs du type Laplacien fractionnaire

Large solutions for fractional Laplacian operators

• Auteur / Autrice : Nicola Abatangelo
• Direction : Louis Dupaigne, Enrico Valdinoci
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématique
• Date : Soutenance le 28/09/2015
• Etablissement(s) : Amiens en cotutelle avec Università degli studi (Milan, Italie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences, technologie et santé (Amiens)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire amiénois de mathématique fondamentale et appliquée
• Jury : Président / Présidente : Alberto Farina
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Louis Dupaigne, Enrico Valdinoci, Alberto Farina, Juan Luis Vázquez, Cyril Imbert, Kevin R. Payne
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Juan Luis Vázquez, Cyril Imbert

Mots clés

Mots clés contrôlés

Dirichlet, Problème de

Mots clés libres

Laplacien fractionnaire

Courbures nonlocales

Opérateurs nonlocaux

Singularité au bord

Fractional Laplacian

Nonlocal curvatures

Non-local operators

Résumé

La thèse étudie les problèmes de Dirichlet linéaires et semilinéaires pour différents opérateurs du type Laplacien fractionnaire. Les données peuvent être des fonctions régularières [régulières] ou plus généralement des mesures de Radon. Le but est de classifier les solutions qui présentent une singularité au bord du domaine prescrit. Nous remarquons d'abord l'existence de toute une gamme de fonctions harmoniques explosant au bord et nous les caractérisons selon une nouvelle notion de trace au bord. A l'aide d'une nouvelle formule d'intégration par parties, nous élaborons ensuite une théorie faible de type Stampacchia pour étendre la théorie linéaire à un cadre qui comprend ces fonctions : nous étudions les questions classiques d'existence, d'unicité, de dépendance à l'égard des données, la régularité et le comportement asymptotique au bord. Puis, nous développons la théorie des problèmes sémilinéaires, en généralisant la méthode des sous- et sursolutions. Cela nous permet de construire l'analogue fractionnaire des grandes solutions dans la théorie des EDPs elliptiques nonlinéaires, en donnant des conditions suffisantes pour l'existence. La thèse se termine par la définition et l'étude d'une notion de courbures directionnelles nonlocales

The thesis studies linear and semilinear Dirichlet problems driven by different fractional Laplacians. The boundary data can be smooth functions or also Radon measures. The goal is to classify the solutions which have a singularity on the boundary of the prescribed domain. We first remark the existence of a large class of harmoni functions with a boundary blow-up and we characterize them in termsof a new notion of degenerate boundary trace. Via some integration by parts formula, we then provide a weak theory of Stampacchia's sort to extend the linear theory to a setting including these functions: we study the classical questions of existence, uniqueness, continuous dependence on the data, regularity and asymptotic behaviour at the boundary. Afterwards we develop the theory of semilinear problems, by adapting and generalizing some sub- and supersolution methods. This allows us to build the fractional counterpart of large solutions in the elliptic PDE theory of nonlinear equations, giving sufficient conditions for the existence. The thesis is concluded with the definition and the study of a notion of nonlocal directional curvatures