Sur la topologie des ensembles semi-algébriques : caractéristique d'Euler; degré topologique et indice radial

On the topology of semialgebraic sets : Euler characteristics, topological degree and radial index.

• Auteur / Autrice : Julie Lapébie
• Direction : Nicolas Dutertre
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 29/05/2015
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille)
• Jury : Président / Présidente : Georges Comte
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Goulwen Fichou, David Trotman, Jean-Paul Brasselet
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Zbigniew Szafraniec, José Seade

Mots clés

Mots clés contrôlés

Singularités (mathématiques)

Ensembles semi-algébriques

Euler-Poincaré, Caractéristique d'

Mots clés libres

Ensembles semi-Algébriques

Singularité

Caractéristique d'Euler

Théorie de Morse

Degré topologique

Indice radial

Théorème de Poincaré-Hopf

Semialgebraic sets

Singularity

Euler characteristic

Morse theory

Topological degree

Radial index

Poincaré-Hopf theorem

Résumé

Suite aux travaux de Zbigniew Szafraniec et Nicolas Dutertre, je me suis intéressée aux calculs de caractéristiques d'Euler de certains espaces semi-algébriques. En particulier, ceux de laforme : {(-1)^{ε₁} G₁≥0 }∩...∩{(-1)^{ε₁} G₁≥0}∩ W, où ε=(ε₁,...,ε₁)∈{0,1}¹, G=(G₁,...,G₁):ℝⁿ→ℝ¹ polynomiale et W:=F⁻¹(0)⊂Rⁿ où F:ℝⁿ→ℝ^k et k+l≤n. Une fois le cas lisse traité, on intersecte ces ensembles avec f≥0 ou f≤0, où f est polynomiale telle que f⁻¹(0) admette un nombre fini de singularités. J'énonce alors un théorème reliant ces caractéristiques au degré d'applications faisant intervenir les fonctions f, F et G. Pour finir, on s'intéresse au cas où l'ensemble W possède un lieu critique compact.Dans une autre partie, je travaille sur l'indice radial, indice défini sur des variétés singulières. J'énonce un résultat faisant le lien entre l'indice radial d'un champ de vecteurs V en une singularité avec l'indice radial de son opposé -V. Finalement, je relie l'indice radial à un indice d'intersection.

After the works of Zbigniew Szafraniec and Nicolas Dutertre, we are interested in computing Euler characteristics of some particular semialgebraic sets. In particular, the ones of the form : {(-1)^{ε₁} G₁≥0 }∩...∩{(-1)^{ε₁} G₁≥0}∩ W, where ε=(ε₁,...,ε₁)∈{0,1}¹, G=(G₁,...,G₁):ℝⁿ→ℝ¹ polynomial and W:=F⁻¹(0)⊂Rⁿ where F:ℝⁿ→ℝ^k and k+l≤n. Once the smooth case is treated, we intersect these sets with f≥0 or f≤0, where f is polynomial such that f⁻¹(0) contains a finite number of singularities. Then we state a theorem that makes a link between these caracteristics and some degrees of mappings involving the functions f, F and G. Finally, we study the case where W has a compact singular set.In another part, I work with the radial index, an index defined for singular manifolds. I have a result making a link between the radial index of a vector field V and its opposite -V at a singularity. Finally, I relate that radial index to an intersection index.