Thèse soutenue

Analyse numérique de modèles de diffusion-sauts à volatilité stochastique : cas de l'évaluation des options

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Auteur / Autrice : Abdelilah Jraifi
Direction : Fouzia BagheryRajae Aboulaich
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques. Mathématiques appliquées
Date : Soutenance le 03/02/2014
Etablissement(s) : Valenciennes en cotutelle avec Université Mohammed V-Agdal (Rabat, Maroc ; 1993-2014)
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques et leurs applications de Valenciennes (2006-2021)
Pôle de recherche et d'enseignement supérieur (PRES) : Communauté d'universités et d'établissements Lille Nord de France (2009-2013)
Jury : Président / Présidente : Mohamed Tkiouat
Examinateurs / Examinatrices : Fouzia Baghery, Rajae Aboulaich, Soumaya Boujena, Rachid Ellaia, Monique Pontier, Abderrahmane Habbal, Habib Ouerdiane
Rapporteurs / Rapporteuses : Soumaya Boujena, Rachid Ellaia, Monique Pontier

Résumé

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Dans le monde économique, les contrats d'options sont très utilisés car ils permettent de se couvrir contre les aléas et les risques dus aux fluctuations des prix des actifs sous-jacents. La détermination du prix de ces contrats est d'une grande importance pour les investisseurs.Dans cette thèse, on s'intéresse aux problèmes d'évaluation des options, en particulier les options Européennes et Quanto sur un actif financier dont le prix est modélisé en multi dimensions par un modèle de diffusion-saut à volatilité stochastique avec sauts (1er cas considère la volatilité sans sauts, dans le 2ème cas les sauts sont pris en compte, finalement dans le 3ème cas, l'actif sous-jacent est sans saut et la volatilité suit un CEV modèle sans saut). Ce modèle permet de mieux prendre en compte certains phénomènes observés dans les marchés. Nous développons des méthodes numériques qui déterminent les valeurs des prix de ces options. On présentera d'abord le modèle qui s'écrit sous la forme d'un système d'équations intégro-différentielles stochastiques "EIDS", et on étudiera l'existence et l'unicité de la solution de ce modèle en fonction de ses coefficients, puis on établira le lien entre le calcul du prix de l'option et la résolution de l'équation Intégro-différentielle partielle (EIDP). Ce lien, qui est basé sur la notion des générateurs infinitésimaux, nous permet d'utiliser différentes méthodes numériques pour l'évaluation des options considérées. Nous introduisons alors l'équation variationnelle associée aux EIDP et démontrons qu'elle admet une unique solution dans un espace de Sobolev avec poids en s'inspirant des travaux de Zhang [106].Nous nous concentrons ensuite sur l'approximation numérique du prix de l'option en considérant le problème dans un domaine borné, et nous utilisons pour la résolution numérique la méthode des éléments finis de type (P1), et un schéma d'Euler-Maruyama, pour se servir, d'une part de la méthode de différences finies en temps, et d'autre part de la méthode de Monté Carlo et la méthode Quasi Monte Carlo. Pour cette dernière méthode nous avons utilisé les suites de Halton afin d'améliorer la vitesse de convergence.Nous présenterons une étude comparative des différents résultats numériques obtenus dans plusieurs cas différents afin d'étudier la performance et l'efficacité des méthodes utilisées.