Vitesse de mélange et théorèmes limites pour les systèmes dynamiques aléatoires et non-autonomes

Rates of mixing and limit theorems for random and non-autonomous dynamical systems

• Auteur / Autrice : Romain Aimino
• Direction : Sandro Vaienti
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 23/10/2014
• Etablissement(s) : Toulon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mer et Sciences (Toulon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de physique théorique (Marseille ; Toulon ; 2012-....) - Centre de physique théorique
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sandro Vaienti, Mark Pollicott, Sébastien Gouëzel, Benoît Saussol, Claude-Alain Pillet, Carlangelo Liverani, Dalibor Volny
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Mark Pollicott, Sébastien Gouëzel

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorèmes des limites (théorie des probabilités)

Systèmes dynamiques

Mots clés libres

Vitesse de mélange

Inégalités de concentration

Lemmes de Borel-Cantelli

Rates of mixing

Concentrations inequalities

Borel-Cantelli Lemmas

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux propriétés statistiques des systèmes dynamiques aléatoires et non-autonomes. Dans le premier chapitre, consacré aux systèmes aléatoires, nous établissons un cadre fonctionnel abstrait, couvrant une large classe de systèmes dilatants en dimension 1 et supérieure, permettant de démontrer de nombreux théorèmes limites annealed. Nous donnons aussi une condition nécessaire et suffisante pour que la version quenched du théorème de la limite centrale soit valide en dimension 1. Dans le chapitre deux, après avoir introduit la notion de système non-autonome, nous étudions un système composé d'applications en dimension 1 ayant un point fixe neutre commun, et nous montrons que celui-ci admet une vitesse de perte de mémoire polynomiale. Le chapitre trois est consacré aux inégalités de concentration. Nous établissons de telles inégalités pour des systèmes dynamiques aléatoires et non-autonomes, et nous étudions diverses applications. Dans le chapitre quatre, nous nous intéressons aux lemmes dynamiques de Borel-Cantelli pour l'induction de Rauzy-Veech-Zorich, et présentons quelques résultats liés aux statistiques de récurrence pour cette application.

The first chapter, devoted to random systems, we establish an abstract functional framework, including a large class of expanding systems in dimension 1 and higher, under which we can prove annealed limit theorems. We also give a necessary and sufficient condition for the quenched central limit theorem to hold in dimension 1. In chapter 2, after an introduction to the notion of non-autonomous system, we study an example consisting of a family of maps of the unit interval with a common neutral fixed point, and we show that this system admits a polynomial loss of memory. The chapter 3 is devoted to concentration inequalities. We establish such inequalities for random and non-autonomous dynamical systems in dimension 1, and we study some of their applications. In chapter 4, we study dynamical Borel-Cantelli lemmas for the Rauzy-Veech-Zorich induction, and we present some results concerning statistics of recurrence for this map.