Waves and instabilities in rotating free surface flows

Ondes et instabilités dans les écoulements tournants à surface libre

• Auteur / Autrice : Jérôme Mougel
• Direction : David Fabre, Laurent Lacaze
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Dynamique des fluides
• Date : Soutenance en 2014
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Turbulence

Surfaces (physique)

Tourbillons (mécanique des fluides)

Mots clés libres

Ecoulements tournants

Surface libre

Instabilités

Ondes

Polygones tournants

Résumé

Cette thèse porte sur l'étude des ondes et instabilités dans les écoulements tournants à surface libre. On s'intéresse en particulier à la situation générique d'un récipient cylindrique partiellement rempli d'un fluide incompressible et dont le fond est en rotation rapide. En particulier, la formation de motifs connus sous le nom de polygones tournants ainsi que des phénomènes d'alternance temporelle nommés switching et sloshing est considérée. Dans ce but, des analyses de stabilité globale sont présentées en considérant des champs d'écoulement de base modèles tels que la rotation solide (seau de Newton), la rotation potentielle et le tourbillon de Rankine. Egalement, quelques résultats expérimentaux originaux obtenus lors d'un séjour au DTU (Copenhague) sont présentés. Les analyses de stabilité globales permettent de montrer que diverses familles d'ondes sont présentes dans ces configurations, à savoir des ondes de surface gravitaires et centrifuges, des ondes inertielles, des ondes de Rossby et des ondes de Kelvin-Kirchhoff. Il est constaté que le seau de Newton est toujours stable dans la gamme des paramètres considérés. Au contraire, des instabilités sont obtenues pour des nombres d'onde azimutaux m<1 pour le tourbillon potentiel. Le diagramme de stabilité obtenu dans l'espace des paramètres (a, F), avec a le rapport d'aspect et F un nombre de Froude, reproduit qualitativement les zones d'observation expérimentales des motifs polygonaux. Les instabilités sont dues à une résonance entre des ondes gravitaires et des ondes centrifuges. Le mécanisme peut être interprété en terme d'onde à énergie négative à l'aide d'un modèle simplifié à deux couches, ou en terme d'over-reflection en utilisant une approche de type WKBJ pour de grandes valeurs de m et dans l'approximation de faibles profondeurs. Par ailleurs, les mécanismes d'un phénomène d'hysteresis observé expérimentalement ainsi que le phénomène de switching sont appréhendés à l'aide d'une étude faiblement non-linéaire effectuée sur le modèle à deux couches. Enfin, le modèle de Rankine, plus représentatif de l'expérience pour de faibles nombres de Froude est étudié et révèle la présence de nouvelles interactions d'ondes conduisants à des instabilités. Ces nouvelles instabilités capturent le phénomène de sloshing et donnent des éléments additionnels pour la comparaison avec les expériences.

This work deals with waves and instabilities in rotating free surface flows. In particular, we investigate symmetry breaking phenomena of the free surface observed in a generic experiment consisting of a partially filled cylindrical tank with a rotating bottom. In this setup, rotating polygons appear at the free surface among additional phenomena called switching and sloshing. This study aims at understanding such a symmetry breaking of the free surface. With this objective, we conduct linear global stability analysis of model base flow such as solid body rotation (Newton's bucket), potential rotation or the Rankine vortex. Various different kind of waves are found in these configurations including surface waves due to gravity or centrifugal acceleration, inertial waves, Rossby waves and Kelvin-Kirchhoff waves. Newton's bucket is found to be stable in the range of parameters considered. In contrast, instabilities emerge for the potential case as a result of surface wave interaction. The cartography of the instability areas in the parameter space (a, F) with a the aspect ratio and F the Froude number, is in good qualitative agreement with the experimental results. In addition, we show that the instability mechanism can be understood both in terms of negative energy wave thanks to a simplified two-layered model; and in terms of over-reflection phenomena thanks to a large m WKBJ approach conducted in the shallow water limit. The two-layered model is used to perform a weakly non-linear stability analysis which gives insights to the hysterical behaviors and the switching phenomena observed in the laboratory experiments. Finally, the global stability analysis of the Rankine vortex shows that additional kinds of instability obtained as a result of wave interactions are present. The mechanisms of the sloshing phenomena is explained and new elements for the comparison with experiments are given.