Thèse soutenue

Estimation des covariances conditionnelles pour la réduction de dimension et les analyses de sensibilité
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Auteur / Autrice : Maikol Solís
Direction : Jean-Michel LoubèsClément Marteau
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques appliquées
Date : Soutenance en 2014
Etablissement(s) : Toulouse 3

Résumé

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Cette thèse se concentre autour du problème de l'estimation de matrices de covariance conditionnelles et ses applications, en particulier sur la réduction de dimension et l'analyse de sensibilités. Dans le Chapitre 2 nous plaçons dans un modèle d'observation de type régression en grande dimension pour lequel nous souhaitons utiliser une méthodologie de type régression inverse par tranches. L'utilisation d'un opérateur fonctionnel, nous permettra d'appliquer une décomposition de Taylor autour d'un estimateur préliminaire de la densité jointe. Nous prouverons deux choses : notre estimateur est asymptoticalement normale avec une variance que dépend de la partie linéaire, et cette variance est efficace selon le point de vue de Cramér-Rao. Dans le Chapitre 3, nous étudions l'estimation de matrices de covariance conditionnelle dans un premier temps coordonnée par coordonnée, lesquelles dépendent de la densité jointe inconnue que nous remplacerons par un estimateur à noyaux. Nous trouverons que l'erreur quadratique moyenne de l'estimateur converge à une vitesse paramétrique si la distribution jointe appartient à une classe de fonctions lisses. Sinon, nous aurons une vitesse plus lent en fonction de la régularité de la densité de la densité jointe. Pour l'estimateur de la matrice complète, nous allons appliquer une transformation de régularisation de type "banding". Finalement, dans le Chapitre 4, nous allons utiliser nos résultats pour estimer des indices de Sobol utilisés en analyses de sensibilité. Ces indices mesurent l'influence des entrées par rapport a la sortie dans modèles complexes. L'avantage de notre implémentation est d'estimer les indices de Sobol sans l'utilisation de coûteuses méthodes de type Monte-Carlo. Certaines illustrations sont présentées dans le chapitre pour montrer les capacités de notre estimateur.