Estimation des covariances conditionnelles pour la réduction de dimension et les analyses de sensibilité

Conditional covariance estimation for dimension reduction and sensivity analysis

• Auteur / Autrice : Maikol Solís
• Direction : Jean-Michel Loubès, Clément Marteau
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2014
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Sensibilité, Théorie de la (mathématiques)

Analyse de covariance

Mots clés libres

Dimension reduction

Sensitivity analysis

Conditional covariance

Sliced inverse regression

Sobol indices

Efficient estimator

Parametric rate of convergence

Résumé

Cette thèse se concentre autour du problème de l'estimation de matrices de covariance conditionnelles et ses applications, en particulier sur la réduction de dimension et l'analyse de sensibilités. Dans le Chapitre 2 nous plaçons dans un modèle d'observation de type régression en grande dimension pour lequel nous souhaitons utiliser une méthodologie de type régression inverse par tranches. L'utilisation d'un opérateur fonctionnel, nous permettra d'appliquer une décomposition de Taylor autour d'un estimateur préliminaire de la densité jointe. Nous prouverons deux choses : notre estimateur est asymptoticalement normale avec une variance que dépend de la partie linéaire, et cette variance est efficace selon le point de vue de Cramér-Rao. Dans le Chapitre 3, nous étudions l'estimation de matrices de covariance conditionnelle dans un premier temps coordonnée par coordonnée, lesquelles dépendent de la densité jointe inconnue que nous remplacerons par un estimateur à noyaux. Nous trouverons que l'erreur quadratique moyenne de l'estimateur converge à une vitesse paramétrique si la distribution jointe appartient à une classe de fonctions lisses. Sinon, nous aurons une vitesse plus lent en fonction de la régularité de la densité de la densité jointe. Pour l'estimateur de la matrice complète, nous allons appliquer une transformation de régularisation de type ''banding''. Finalement, dans le Chapitre 4, nous allons utiliser nos résultats pour estimer des indices de Sobol utilisés en analyses de sensibilité. Ces indices mesurent l'influence des entrées par rapport a la sortie dans modèles complexes. L'avantage de notre implémentation est d'estimer les indices de Sobol sans l'utilisation de coûteuses méthodes de type Monte-Carlo. Certaines illustrations sont présentées dans le chapitre pour montrer les capacités de notre estimateur.

This thesis will be focused in the estimation of conditional covariance matrices and their applications, in particular, in dimension reduction and sensitivity analyses. In Chapter 2, we are in a context of high-dimensional nonlinear regression. The main objective is to use the sliced inverse regression methodology. Using a functional operator depending on the joint density, we apply a Taylor decomposition around a preliminary estimator. We will prove two things: our estimator is asymptotical normal with variance depending only the linear part, and this variance is efficient from the Cramér-Rao point of view. In the Chapter 3, we study the estimation of conditional covariance matrices, first coordinate-wise where those parameters depend on the unknown joint density which we will replace it by a kernel estimator. We prove that the mean squared error of the nonparametric estimator has a parametric rate of convergence if the joint distribution belongs to some class of smooth functions. Otherwise, we get a slower rate depending on the regularity of the model. For the estimator of the whole matrix estimator, we will apply a regularization of type ''banding''. Finally, in Chapter 4, we apply our results to estimate the Sobol or sensitivity indices. These indices measure the influence of the inputs with respect to the output in complex models. The advantage of our implementation is that we can estimate the Sobol indices without use computing expensive Monte-Carlo methods. Some illustrations are presented in the chapter showing the capabilities of our estimator.