Intersections maximales de quadriques réelles

Maximal intersections of real quadrics

• Auteur / Autrice : Arnaud Tomasini
• Direction : Vâčeslav Mihajlovič Harlamov
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 10/11/2014
• Etablissement(s) : Strasbourg
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg)
• Jury : Président / Présidente : Ilia Itenberg
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Gianluca Pacienza
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Sergey Finashin, Frédéric Mangolte
• DOI : 10.70675/a96bcdafz39b6z4a79z945dz753e5c67438d

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des intersections

Seizième problème de Hilbert

Variétés algébriques

Quadriques

Mots clés libres

Formes quadratiques

Nombres de Betti

Courbes planes

16ème problème de Hilbert

Classes de déformation

Quadratic forms

Betti numbers

Plane curves

Hilbert 16th problem

Deformation classes

Résumé

La géométrie algébrique réelle est dans sa définition la plus simple, l'étude des ensembles de solutions d'un système d'équations polynomiales à coefficients réelles. Dans cette vaste thématique, on se concentre sur les intersections de quadriques où déjà le cas de trois quadriques reste largement ouvert. Notre sujet peut être résumé comme l'étude topologique des variétés algébriques réelles et l'interaction entre leur topologie d'une part et leur déformations et dégénérations d'autre part, un problème issu du 16ième problème de Hilbert et enrichi par des développements récents. Au cours de cette thèse, nous allons nous focaliser sur les intersections maximales de quadriques réelles et en particulier démonter l'existence de telles intersections en utilisant des développements issus des recherches effectuées depuis la fin des années 80. Dans le cas d'intersections de trois quadriques, nous allons mettre en évidence le lien très étroits entre ces intersections d'une part et les courbes planes d'autre part, et démontrer que l'étude des M-courbes (une des problématiques du 16ième problème de Hilbert) peut se faire à travers l'étude des intersections maximales. Nous utiliserons ensuite les résultats sur les courbes planes nodales afin de déterminer dans certains cas les classes de déformations d'intersections de trois quadriques réelles.

Real algebraic geometry is in its simplest definition, the study of sets of solutions of a system of polynomial equations with real coefficients. In this theme, we focus on the intersections of quadrics where already the case of three quadrics remains wide open. Our subject can be summarized as the topological study of real algebraic varieties and interaction between their topology on the one hand and their deformations and degenerations on the other hand, a problem coming from the 16th Hilbert problem and enriched by recent developments. In this thesis, we will focus on maximum intersections of real quadrics and particularly prove the existence of such intersections using research developments made since the late 80. In the case of intersections of three quadrics, we will point the very close link between the intersections on the one hand and on the other plane curves, and show that the study of M-curves (one of the problems of the 16th Hilbert problem) may be done through the study of maximum intersections. Next, we will use the study on nodal plane curves to determine in some cases deformation classes of intersections of three real quadrics.