Profondeur, dimension et résolutions en algèbre commutative : quelques aspects effectifs

Depth, dimension and resolutions in commutative algebra : some effective aspects

• Auteur / Autrice : Claire Tête
• Direction : Lionel Ducos
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 21/10/2014
• Etablissement(s) : Poitiers
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et ingénierie pour l'information, mathématiques (Limoges ; 2009-2018)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques et applications - LMA (Poitiers)
• Partenaire(s) de recherche : faculte : Université de Poitiers. UFR des sciences fondamentales et appliquées
• Jury : Président / Présidente : Karim Belabas
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Lionel Ducos, Marc A. A. van Leeuwen, Laurent Busé, Jean-Pierre Jouanolou
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Thierry Coquand, Marc Chardin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Syzygies (mathématiques)

Calcul formel

Čech, Cohomologie de

Résolutions libres (algèbre)

Dimension, Théorie de la (algèbre)

Mots clés libres

Algèbre commutative effective

(co)homologie de Koszul

Cohomologie de Cech

Suite exacte de Mayer-Vietoris

Cohomologie du totalisé d'un bicomplexe

Profondeur

Suite régulière

Complètement sécante

1-Sécante

Quasi-Régulière

Dimension de Krull

Résolution libre finie

Construction de Tate

Calcul de l'anneau des entiers d'un corps de nombres

Effective commutative algebra

Koszul cohomology

Cech cohomology

Mayer-Vietoris exact sequence

Cohomology of the totalization of a bicomplex

Depth

Regular sequence

1-Secant sequence

Quasi-Regular sequence

Krull dimension

Finite free resolution

Tate construction

Algorithm for computing the ring of integers of a number field

Résumé

Cette thèse d'algèbre commutative porte principalement sur la théorie de la profondeur. Nous nous efforçons d'en fournir une approche épurée d'hypothèse noethérienne dans l'espoir d'échapper aux idéaux premiers et ceci afin de manier des objets élémentaires et explicites. Parmi ces objets, figurent les complexes algébriques de Koszul et de Cech dont nous étudions les propriétés cohomologiques grâce à des résultats simples portant sur la cohomologie du totalisé d'un bicomplexe. Dans le cadre de la cohomologie de Cech, nous avons établi la longue suite exacte de Mayer-Vietoris avec un traitement reposant uniquement sur le maniement des éléments. Une autre notion importante est celle de dimension de Krull. Sa caractérisation en termes de monoïdes bords permet de montrer de manière expéditive le théorème d'annulation de Grothendieck en cohomologie de Cech. Nous fournissons également un algorithme permettant de compléter un polynôme homogène en un h.s.o.p.. La profondeur est intimement liée à la théorie des résolutions libres/projectives finies, en témoigne le théorème de Ferrand-Vasconcelos dont nous rapportons une généralisation due à Jouanolou. Par ailleurs, nous revenons sur des résultats faisant intervenir la profondeur des idéaux caractéristiques d'une résolution libre finie. Nous revisitons, dans un cas particulier, une construction due à Tate permettant d'expliciter une résolution projective totalement effective de l'idéal d'un point lisse d'une hypersurface. Enfin, nous abordons la théorie de la régularité en dimension 1 via l'étude des idéaux inversibles et fournissons un algorithme implémenté en Magma calculant l'anneau des entiers d'un corps de nombres.

This Commutative Algebra thesis focuses mainly on the depth theory. We try to provide an approach without noetherian hypothesis in order to escape prime ideals and to handle only basic and explicit concepts. We study the algebraic complexes of Koszul and Cech and their cohomological properties by using simple results on the cohomology of the totalization of a bicomplex. In the Cech cohomology context we established the long exact sequence of Mayer-Vietoris only with a treatment based on the elements. Another important concept is that of Krull dimension. Its characterization in terms of monoids allows us to show expeditiously the vanishing Grothendieck theorem in Cech cohomology.We also provide an algorithm to complete a omogeneous polynomial in a h.s.o.p.. The depth is closely related to the theory of finite free/projective resolutions. We report a generalization of the Ferrand-Vasconcelos theorem due to Jouanolou. In addition, we review some results involving the depth of the ideals of expected ranks in a finite free resolution.We revisit, in a particular case, a construction due to Tate. This allows us to give an effective projective resolution of the ideal of a point of a smooth hypersurface. Finally, we discuss the regularity theory in dimension 1 by studying invertible ideals and provide an algorithm implemented in Magma computing the ring of integers of a number field.