Généralisation du théorème de Greenberg-Stevens au cas du carré symétrique d'une forme modulaire et application au groupe de Selmer

Generalization of a theorem of Greenberg and Stevens to the case of the symmetric square of a modular form and an application to the Selmer group

• Auteur / Autrice : Giovanni Rosso
• Direction : Jacques Tilouine, Johannes Nicaise
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 14/04/2014
• Etablissement(s) : Paris 13 en cotutelle avec Katholieke universiteit te Leuven (1970-....). Laboratorium voor Levensmeddelentechnologie
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Analyse, géométrie et applications (LAGA) (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Jury : Président / Présidente : Denis Benois
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Farrell Brumley, Karel Dekimpe, Mladen Dimitrov, Michael Spiess, Fabian Januszewski, Wim Veys
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Denis Benois, Haruzo Hida

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie d'Iwasawa

Fonctions L

Groupes p-adiques

Formes modulaires

Mots clés libres

Représentations galoisiennes

Galois representations

Résumé

Dans cette thèse, on démontre une conjecture de Greenberg et Benois sur les zéros triviaux des fonctions L p-adiques dans certains cas. Pour cela, on utilise la méthode de Greenberg et Stevens. Plus précisément, on démontre d'abord cette conjecture pour une forme de Hilbert de poids parallèle 2 sur un corps totalement réel où p est inerte, quand la forme est Steinberg en p et sous d'autres hypothèses sur le conducteur. Ce résultat est une généralisation de travaux non publiés de Greenberg et Tilouine. On démontre ensuite cette conjecture pour une forme modulaire elliptique de pente finie et Steinberg en p et sous des hypothèses similaires. Pour construire la fonction L p-adique en deux variables (construction nécessaire à l'utilisation de la méthode de Greenberg-Stevens), on utilise la récente théorie des formes quasisurconvergentes d'Urban. On améliore le précédent résultat en enlevant l'hypothèse de conducteur pair et en utilisant la construction de la fonction L p-adique de Böcherer et Schmidt. Dans le chapitre final, on rappelle la définition et les calculs de l'invariant ℒ de Greenberg-Benois et on explique comment certains résultats précédement énoncés peuvent être généralisés aux formes modualires de Siegel.

This thesis is devoted to the study of certain cases of a conjecture of Greenberg and Benois on derivative of p-adic L-functions using the method of Greenberg and Stevens. We first prove this conjecture in the case of the symmetric square of a parallel weight 2 Hilbert modular form over a totally real field where p is inert and whose associated automorphic representation is Steinberg in p, assuming certain hypotheses on the conductor. This is a direct generalization of (unpublished) results of Greenberg and Tilouine. Subsequently, we deal with the symmetric square of a finite slope, elliptic, modular form wich is Steinberg at p. To construct the two-variable p-adic L-function, necessary to apply the method of Greenberg and Stevens, we have to appeal to the recently developped theory of nearly overconvergent forms of Urban. We further strengthen the above result, removing the assumption that the conductor of the form is even, using the construction of the p-adic L-function by Böcherer and Schmidt. In the final chapter we recall the definition and the calculation of the algebraic ℒ-invariant à la Greenberg-Benois, and explain how some of the above-mentioned results could generalized to higher genus Siegel modular forms.