Algèbre homologique dans la catégorie des modules instables.
Auteur / Autrice : | The Cuong Nguyen |
Direction : | Lionel Schwartz |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques |
Date : | Soutenance le 02/07/2014 |
Etablissement(s) : | Paris 13 |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Laboratoire Analyse, géométrie et applications (LAGA) (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis) |
Jury : | Président / Présidente : Olivier Bob |
Examinateurs / Examinatrices : Paul Gregory Goerss, Saïd Zarati | |
Rapporteur / Rapporteuse : Vincent Franjou, Jérôme Scherer |
Mots clés
Mots clés libres
Résumé
Cette thèse présente des calculs d’algèbre homologique dans la catégorie des modules instables. Dans le premier chapitre, on rappelle des généralités sur cette catégorie, parmi elles le théorème de la caractérisation de la filtration de Krull grâce au foncteur de Lannes. En utilisant la théorie des représentations, Schwartz a démontré ce théorème dans les années 90s. Au cours du chapitre, on donne une preuve élémentaire de ce théorème. Une méthode efficace pour construire des résolutions à partir des suites exactes dans cette catégorie y est introduite ainsi. On l’appelle pseudo-hyper résolution. La catégorie des foncteurs polynomiaux stricts homogènes de degré fini a été reliée avec la catégorie des modules instables d’après les travaux de Hai en 2010. Le foncteur connectant ces deux catégories est nommé d’après lui. On montre dans le deuxième chapitre que ce foncteur est pleinement fidèle, permettant de considérer la catégorie des foncteurs polynomiaux stricts homogènes de degré fini comme une sous-catégorie pleine de la catégorie des modules instables. Le chapitre 3 est consacré pour étudier les résolutions injectives minimales des cohomologies de sphères. On montre que le morphisme à la Bockstein permet de déterminer une grande partie de ces résolutions. Dans le dernier chapitre, on étudie l’action de la torsion de Frobenius sur les groupes d’extensions. Ceci amène à étudier la résolution injective minimale du module F(1), étant générateur projectif monogène engendré par un élément de degré 1. De l’information partielle de la partie nilpotente de cette résolution est donnée à la fin du chapitre.