Thèse soutenue

Quasi transformées de Riesz, espaces de Hardy et estimations sous-gaussiennes du noyau de la chaleur

FR  |  
EN
Auteur / Autrice : Li Chen
Direction : Pascal AuscherThierry Coulhon
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 24/04/2014
Etablissement(s) : Paris 11 en cotutelle avec Australian national university
Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques de la région Paris-Sud (1992-2015 ; Orsay)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
Jury : Président / Présidente : Andrew Hassell
Examinateurs / Examinatrices : Pascal Auscher, Thierry Coulhon, Andrew Hassell, Alan McIntosh, Adam Sikora, Pierre Portal
Rapporteurs / Rapporteuses : Frédéric Bernicot, Peer Kunstmann

Résumé

FR  |  
EN

Dans cette thèse nous étudions les transformées de Riesz et les espaces de Hardy associés à un opérateur sur un espace métrique mesuré. Ces deux sujets sont en lien avec des estimations du noyau de la chaleur associé à cet opérateur. Dans les Chapitres 1, 2 et 4, on étudie les transformées quasi de Riesz sur les variétés riemannienne et sur les graphes. Dans le Chapitre 1, on prouve que les quasi transformées de Riesz sont bornées dans Lp pour 1<p<2. Dans le Chapitre 2, on montre que les quasi transformées de Riesz est aussi de type faible (1,1) si la variété satisfait la propriété de doublement du volume et l'estimation sous-gaussienne du noyau de la chaleur. On obtient des résultats analogues sur les graphes dans le Chapitre 4. Dans le Chapitre 3, on développe la théorie des espaces de Hardy sur les espaces métriques mesurés avec des estimations différentes localement et globalement du noyau de la chaleur. On définit les espaces de Hardy par les molécules et par les fonctions quadratiques. On montre tout d'abord que ces deux espaces H1 sont les mêmes. Puis, on compare l'espace Hp défini par par les fonctions quadratiques et Lp. On montre qu'ils sont équivalents. Mais on trouve des exemples tels que l'équivalence entre Lp et Hp défini par les fonctions quadratiques avec l'homogénéité t2 n'est pas vraie. Finalement, comme application, on montre que les quasi transformées de Riesz sont bornées de H1 dans L1 sur les variétés fractales. Dans le Chapitre 5, on prouve des inégalités généralisées de Poincaré et de Sobolev sur les graphes de Vicsek. On montre aussi qu'elles sont optimales.