Régularisations de faible complexité pour les problèmes inverses

Low Complexity Regularization of Inverse Problems

• Auteur / Autrice : Samuel Vaiter
• Direction : Gabriel Peyré
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et informatique appliquées aux sciences sociales (miass)
• Date : Soutenance le 10/07/2014
• Etablissement(s) : Paris 9
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) - Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Problèmes inverses

Calcul des variations

Sensibilité, Théorie de la (mathématiques)

Estimation, Théorie de l'

Représentation parcimonieuse

Optimisation convexe

Mots clés libres

Problème inverse

Régularisation variationnelle

A priori de faible complexité

Parcimonie

Robustesse

Sensibilité

Estimation du risque

Degrés de liberté

Sélection de paramètre

Fonction partiellement lisse

Inverse problem

Variational regularization

Low complexity prior

Sparsity

Robustness

Sensitivity

Risk estimation

Degrees of freedom

Parameter selection

Partly smooth function

Résumé

Cette thèse se consacre aux garanties de reconstruction et de l’analyse de sensibilité de régularisation variationnelle pour des problèmes inverses linéaires bruités. Il s’agit d’un problème d’optimisation convexe combinant un terme d’attache aux données et un terme de régularisation promouvant des solutions vivant dans un espace dit de faible complexité. Notre approche, basée sur la notion de fonctions partiellement lisses, permet l’étude d’une grande variété de régularisations comme par exemple la parcimonie de type analyse ou structurée, l’anti-Parcimonie et la structure de faible rang. Nous analysons tout d’abord la robustesse au bruit, à la fois en termes de distance entre les solutions et l’objet original, ainsi que la stabilité de l’espace modèle promu.Ensuite, nous étudions la stabilité de ces problèmes d’optimisation à des perturbations des observations. A partir d’observations aléatoires, nous construisons un estimateur non biaisé du risque afin d’obtenir un schéma de sélection de paramètre.

This thesis is concerned with recovery guarantees and sensitivity analysis of variational regularization for noisy linear inverse problems. This is cast as aconvex optimization problem by combining a data fidelity and a regularizing functional promoting solutions conforming to some notion of low complexity related to their non-Smoothness points. Our approach, based on partial smoothness, handles a variety of regularizers including analysis/structured sparsity, antisparsity and low-Rank structure. We first give an analysis of thenoise robustness guarantees, both in terms of the distance of the recovered solutions to the original object, as well as the stability of the promoted modelspace. We then turn to sensivity analysis of these optimization problems to observation perturbations. With random observations, we build un biased estimator of the risk which provides a parameter selection scheme.