From toposes to non-commutative geometry trough the study of internai Hilbert spaces

• Auteur / Autrice : Simon Henry
• Direction : Alain Connes
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2014
• Etablissement(s) : Paris 7
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Quantales

Hypergroupes

Gelfand, Couples de

Localisation, Théorie de la

Géométrie différentielle non commutative

C*-algèbres

Topos (mathématiques)

Résumé

Nous étudions des relations entre la géométrie non commutative et la théorie des topos, comme deux généralisations de la topologie. L'outil principal que nous utilisons est l'étude des champs continus d'espaces de Hilbert sur un topos, définis par l'utilisation de la logique interne du topos. En considérant les algèbres d'opérateurs bornés sur de tels champs on obtient des C*-algèbres associées au topos. Dans le chapitre 1 nous étudions cette relation par l'intermédiaire des quantales et dans le cas des topos atomiques. Dans ce cas, la relation avec les algèbres d'opérateurs peut-être décrite explicitement et cela procure un modèle simple des phénomènes qui apparaissent. Le chapitre 2 définit une théorie de la mesure sur les topos et la relie à la théorie des W*-algèbres. Inspirés par les résultats du chapitre 1 nous définissons une notion de mesure invariante qui apparait comme analogue à la notion de trace. La classification de ces mesures fait apparaitre un R+*-fibré principal canonique sur tout topos booléen intégrable localement séparé, qui est l'analogue de l'évolution temporelle des W*-algèbres (ceci est précisé à la fin du chapitre 2). Dans le chapitre 3, nous définissons et étudions une notion d'espaces de Banach ''localiques''. Notre motivation est de pouvoir généraliser les techniques que nous utilisons pour les topos à des groupoides topologiques ou localiques, ainsi que d'obtenir une extension de la dualitée de Gelfand constructive conjecturée par C. J. Mulvey et B. Banachewski. Nous prouvons aussi que dans un topos satisfaisant une condition liée à la paracompacité, la notion d'espace de Banach localique est équivalente à la notion usuelle d'espace de Banach.

The goal of this thesis is to study some relations between non-commutative geometry and topos theory, as two generalisation of topology. The main tool we are using is the study of continuous bundles of Hilbert spaces over a topos which are defined as Hilbert spaces in the internai Iogic of the topos. By looking at the aigebras of bounded operators over such Hilbert spaces one can associate C*-aigebras to a topos. In chapter 1 we study this relation through the use of quantales, and in the case of at ic toposes. For such toposes the relation with operator aigebras can be described expl Ytely, and this provides an interesting toy-mode) for the case of more general toposes. In chapter 2 we focus on measure theoretic aspects. We define a notion of generalized measure ciass over a topos, and this notion appears to be closely related to the theory of W* aigebras. Lnspired by the results of chapter 1 we define a notion of invariant measure, which appears to be analogous to the notion of trace on a W*-algebra. The classification of such measures gives rise to a canonicat R+*-principal bundle on every integrable locally separate boolean topos, which is the analogue of the modular theory of W*-algebras. In chapter 3, we define and study a notion of localic Banach spaces. Our motivations are tha it allows to generalize the techniques used on toposes in this thesis to topological and localic groupoids, and to obtain an extension of the constructive Gelfand duality as conjectured by C. J. Mulvey and B. Banachewski. We also prove that over a topos satisfying a condition related to paracompactness, the notion of localic Banach space is equivalent to the usual notion of Banach space.