Combinatoire des tableaux escalier

• Auteur / Autrice : Sandrine Dasse-Hartaut
• Direction : Sylvie Corteel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2014
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Physique statistique

Polynômes

Analyse combinatoire

Arbres (théorie des graphes)

Permutations (mathématiques)

Résumé

Les tableaux escalier sont des objets combinatoires définis par S. Corteel et L. Williams, qui généralisent les tableaux de permutations et les tableaux alternatifs. Ils ont été utilisés pour donner une formule combinatoire pour les moments des polynômes d'Askey-Wilson. Les tableaux escalier sont également liés au processus d'exclusion asymétrique sur un réseau unidimensionnel avec bords ouverts, l'ASEP, un modèle de physique statistique important et sujet de nombreuses études, et ont permis de donner une formule combinatoire pour en exprimer la probabilité stationnaire. On montre ici différentes approches des tableaux escalier : une approche probabiliste permet d'en déduire des propriétés exactes et asymptotiques, une approche bijective permet de découvrir des propriétés de sous-ensembles de ces tableaux, via les tree-like tableaux ou des tables d'inversion. Enfin, une chaîne de Marov sur un sous-ensemble des tableaux escalier confirme intuitivement les formules obtenues par le calcul de la probabilité stationnaire du PASEP.

A relatively new combinatorial structure, called staircase tableaux, was introduced in recent work of S. Corteel and L. Williams. Staircase tableaux are a generalisation of permutation tableaux and alternative tableaux. Their study gave a combinatorial formula for the moments of Askey-Wilson polynomials. Staircase tableaux are also related to the asymmetric exclusion process on a one-dimensional lattice with open boundaries (ASEP), an important and heavily studied particle model in statistical mechanics. The study of the generating function of the staircase tableau has given a combinatorial formula for the steady state probability of the ASEP. We use differents approaches to study the staircase tableaux : with a probabilistic approach, we prove the asymptotic normality of some parameters of the staircase tableaux ; with bijective combinatorics, we get the properties of some subsets of staircase tableaux, using for example tree-like tableaux or permutations. Finally, a Markov chain on a subset of staircase tableaux confirms intuitively the formula for the steady state probability without using the matrix ansatz.