Méthodes numériques de simulation de problèmes d'interaction fluide-structure

Numerical methods for incompressible fluid-structure interaction

• Auteur / Autrice : Jimmy Mullaert
• Direction : Miguel Angel Fernandez Varela, Yvon Maday
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 17/12/2014
• Etablissement(s) : Paris 6
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Laurence Halpern, Elisabeth Longatte, Dominique Chapelle, Emmanuel Maitre, Frédéric Hecht

Mots clés

Mots clés contrôlés

Viscosité

Solides élastiques

Mots clés libres

Interaction fluide-structure

Fluide incompressible

Structure viscoélastique

Schéma de couplage

Préconditionnement

Méthodes Robin-Neumann

Incompressible fluid

Viscoelastic structure

Résumé

Cette thèse présente une famille de schémas explicites pour la résolution d'un problème couplé d'interaction entre un fluide visqueux incompressible et une structure élastique (avec possiblement un comportement visco-élastique et/ou non linéaire). La principale propriété de ces schémas est une condition de Robin consistante à l'interface, qui représente une caractéristique fondamentale du problème continu dans le cas où la structure est mince. Si le couplage s'effectue avec une structure épaisse, une condition de Robin généralisée peut être formulée pour le problème semi-discret en espace, à l'aide d'une condensation de la matrice de masse de la structure. Une deuxième caractéristique majeure de ces schémas est la capacité d'obtenir une condition de Robin qui intègre à la fois des extrapolations de la vitesse et des efforts du solide (donnant lieu à un schéma de couplage explicite), mais également un traitement implicite de l'inertie de la structure, qui rend le schéma stable quelle que soit l'intensité de l'effet de masse ajoutée. Un résultat général de stabilité et de convergence est présenté pour tous les ordres d'extrapolations dans un cadre linéaire représentatif. On montre, en particulier, que les propriétés de stabilité se conservent lorsque le couplage s'effectue avec une structure mince ou épaisse. En revanche, la précision optimale obtenue dans le cas d'une structure mince n'est pas retrouvée avec une structure épaisse. L'erreur introduite par le schéma de couplage comporte en effet une non-uniformité en espace, qui provient de la non-uniformité des reconstructions discrètes des opérateurs viscoélastiques. L'approximation induite par la condensation de la matrice de masse solide n'est pas responsable de cette non-uniformité. À partir de ce schéma,on propose également des méthodes itératives pour la résolution du schéma fortement couplé.La convergence de cette méthode est démontrée dans un cadre linéaire et ne montre pas de sensibilité à l'effet de masse ajoutée. Finalement, les résultats théoriques obtenus sont illustrés par des exemples numériques variés, dans les cas linéaire et non linéaire.

This thesis introduces a class of explicit coupling schemes for the numerical solution of fluid-structure interaction problems involving a viscous incompressible fluid and a general elastic structure (thin-walled or thick-walled, viscoelastic and non-linear).The first fundamental ingredient of these methods is the notion of interface Robin consist encyon the interface. This is an intrinsic (parameter free) feature of the continuous problem, in the case of the coupling with thin-walled solids. For thick-walled structures, we show that an intrinsic interface Robin consistency can also be recovered at the space semi-discrete level, using a lumped-mass approximation in the structure.The second key ingredient of the methods proposed consists in deriving an explicit Robin interface condition for the fluid, which combines extrapolations of the solid velocity and stresses with an implicit treatment of the solid inertia. The former enables explicit coupling,while the latter guarantees added-mass free stability. Stability and error estimates are provided for all the variants (depending on the extrapolations), using energy arguments within a representative linear setting. We show, in particular, that the stability properties do not depend on the thin- or thick-walled nature of the structure. The optimal first-order accuracy obtained in the case of the coupling with thin-walled structuresis, however, not preserved when the structure is thick-walled, due to the spatial non uniformityof the splitting error. The genesis of this problem is the non-uniformity of the discrete viscoelastic operators, related to the thick-walled character of the structure,and not to the mass-lumping approximation. Based on these splitting schemes, new, parameter-free, Robin-Neumann iterative procedures for the partitioned solution of strong coupling are also proposed and analyzed. A comprehensive numerical study, involving linear and non linear models, confims the theoretical findings reported in this thesis.