Quelques résultats d'approximation et de régularité pour des équations elliptiques et paraboliques non-linéaires

Some approximation and regularity results for fully nonlinear elliptic and parabolic equations

• Auteur / Autrice : Jean-Paul Daniel
• Direction : Scott Armstrong, Sylvia Serfaty
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Appliquées
• Date : Soutenance le 12/12/2014
• Etablissement(s) : Paris 6
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Francesca Da Lio, Olivier Ley, Yves Achdou, Pierre Cardaliaguet, Cyril Imbert

Mots clés

Mots clés contrôlés

Convergence (mathématiques)

Solutions de viscosité

Mots clés libres

Solutions de viscosité

Equations elliptiques non-Linéaires

Equations paraboliques non-Linéaires

Régularité

Approximation

Taux de convergence

Viscosity solutions

Nonlinear elliptic equations

Résumé

Nous nous intéressons à des résultats d'approximation et de régularité pour des solutions de viscosité d'équations elliptiques et paraboliques non-linéaires. Dans le chapitre 1, nous proposons, pour une classe générale d'équations elliptiques et paraboliques non-linéaires munies de conditions de Neumann inhomogènes, une interprétation de contrôle déterministe par des jeux répétés à deux personnes qui consiste à représenter la solution comme la limite de la suite des scores associés aux jeux. La condition de Neumann intervient par une pénalisation adaptée près de la frontière. En s'inspirant d'une approche abstraite proposée par Barles et Souganidis, nous prouvons la convergence en établissant des propriétés de monotonie, stabilité et consistance. Le chapitre 2 est consacré à des résultats de régularité sur les solutions d'équations paraboliques non-linéaires associés à un opérateur uniformément elliptique. Nous donnons une estimation de la mesure de Lebesgue de l'ensemble des points possédant un développement de Taylor quadratique global avec un contrôle sur la taille du terme cubique. Sous une hypothèse supplémentaire sur la régularité de la non-linéarité, nous en déduisons un résultat de régularité partielle höldérienne des solutions. Dans les chapitres 3 et 4, nous proposons une méthode générale pour obtenir des taux algébriques de convergence de solutions de schémas d'approximation vers la solution de viscosité sous l'hypothèse d'uniforme ellipticité de l'opérateur. Nous donnons un taux de convergence pour des schémas elliptiques obtenus par principe de programmation dynamique et nous prouvons un taux pour des schémas paraboliques par différences finies et implicites en temps.

In this thesis we study some approximation and regularity results for viscosity solutions of fully nonlinear elliptic and parabolic equations. In the first chapter, we consider a broad class of fully nonlinear elliptic and parabolic equations with inhomogeneous Neumann boundary conditions. We provide a deterministic control interpretation through two-person repeated games which represents the solution as the limit of the sequence of the scores associated to the games. The Neumann condition is modeled by a suitable penalization near the boundary. Inspiring by an abstract method of Barles and Souganidis, we prove the convergence of the score to the solution of the equation by establishing monotonicity, stability and consistency. The second chapter presents some regularity results about viscosity solutions of parabolic equations associated to a uniformly elliptic operator. First we obtain a Lebesgue measure estimate on the points having a quadratic Taylor expansion with a controlled cubic term. Under an additional assumption on the regularity of the nonlinearity, we deduce a partial regularity result about the Hölder regularity of these solutions. In the third and fourth chapters, we propose a general approach to determine algebraic rates of convergence of solutions of approximation schemes to the viscosity solution of fully nonlinear elliptic or parabolic equations under the assumption of uniform ellipticity of the operator. We first give the rate associated to the elliptic schemes derived by dynamic programming principles and proposed by Kohn and Serfaty. We then prove a rate of convergence for finite-difference schemes implicit in time associated to fully nonlinear parabolic equations.