Auteur / Autrice : | Christopher Shirley |
Direction : | Frédéric Klopp |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques |
Date : | Soutenance le 27/10/2014 |
Etablissement(s) : | Paris 6 |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....) |
Jury : | Président / Présidente : François Germinet |
Examinateurs / Examinatrices : Alexander Fedotov, Nicolas Lerner | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Ivan Veselić |
Mots clés
Résumé
Dans cette thèse, nous allons prouver des estimations de décorrelation des valeurs propres pour plusieurs modèles d'opérateurs de Schrödinger aléatoires en dimension un, dans le régime localisé, tant que nous avons des estimations de Wegner. Ceci permet l'étude des statistiques spectrales.Nous commencerons donc par présenter les hypothèses sur lesquelles nous nous appuyons et les différents modèles considérés.Nous étudierons ensuite les estimations de Minami, qui peuvent être vues comme des estimations de décorrélation des valeurs propres proches. Nous montrerons qu'en dimension un, elles sont conséquences des estimations de Wegner et de l'hypothèse de localisation. Les estimations prouvées ici ont un domaine de validité plus restreint que les estimations de Minami classiques, mais sont suffisantes pour notre étude.Nous étudierons ensuite les estimations de décorrélation des valeurs propres éloignées pour les différents modèles présentés. Nous montrerons qu'elles sont conséquences des estimations de Minami, des estimations de Wegner et de l'hypothèse de localisation. Les preuves données seront différentes selon les modèles étudiés.Enfin, nous montrerons que ces résultats permettent d'étudier les statistiques spectrales, dans le régime localisé. Par exemple, les estimations de décorrélation permettent de montrer que les statistiques locales des niveaux d'énergies, prises à deux énergies différentes, convergent faiblement vers deux processus de Poisson indépendants sur ℝ d'intensité la mesure de Lebesgue.