Périodes des arrangements d'hyperplans et coproduit motivique.

Periods of hyperplane arrangements and motivic coproduct

• Auteur / Autrice : Clément Dupont
• Direction : Francis Brown
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 26/09/2014
• Etablissement(s) : Paris 6
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Yves André, Pierre Cartier, Loïc Foissy, Ivan Marin, Joseph Oesterle
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Marc Noel Levine, Alexandru Dimca

Mots clés

Mots clés contrôlés

Hopf, Algèbres de

Arrangements (analyse combinatoire)

Mots clés libres

Périodes

Polylogarithmes

Arrangements d'hyperplans

Motifs de Tate mixtes

Structures de Hodge mixtes

Algèbres de Hopf combinatoires

Periods,

Polylogarithms

Hyperplane arrangements

Mixed Tate motives

Mixed Hodge structures

Combinatorial Hopf algebras

Résumé

Dans cette thèse, on s'intéresse à des questions relatives aux arrangements d'hyperplans du point de vue des périodes motiviques. Suivant un programme initié par Beilinson et al., on étudie une famille de périodes appelée polylogarithmes d'Aomoto et leurs variantes motiviques, vues comme éléments de l'algèbre de Hopf fondamentale de la catégorie des structures de Hodge-Tate mixtes, ou de la catégorie des motifs de Tate mixtes sur un corps de nombres. On commence par calculer le coproduit motivique d'une famille de telles périodes, appelées polylogarithmes de dissection génériques, en montrant qu'il est régi par une formule combinatoire. Ce résultat généralise un théorème de Goncharov sur les intégrales itérées. Puis, on introduit les bi-arrangements d'hyperplans, objets géométriques et combinatoires qui généralisent les arrangements d'hyperplans classiques. Le calcul de groupes de cohomologie relative associés aux bi-arrangements d'hyperplans est une étape cruciale dans la compréhension du coproduit motivique des polylogarithmes d'Aomoto. On définit des outils cohomologiques et combinatoires pour calculer ces groupes de cohomologie, qui éclairent dans un cadre global des objets classiques tels que l'algèbre d'Orlik-Solomon.

In this thesis, we deal with some questions about hyperplane arrangements from the viewpoint of motivic periods. Following a program initiated by Beilinson et al., we study a family of periods called Aomoto polylogarithms and their motivic variants, viewed as elements of the fundamental Hopf algebra of the category of mixed Hodge-Tate structures, or the category of mixed Tate motives over a number field. We start by computing the motivic coproduct of a family of such periods, called generic dissection polylogarithms, showing that it is governed by a combinatorial formula. This result generalizes a theorem of Goncharov on iterated integrals. Then, we introduce bi-arrangements of hyperplanes, which are geometric and combinatorial objects which generalize classical hyperplane arrangements. The computation of relative cohomology groups associated to bi-arrangements of hyperplanes is a crucial step in the understanding of the motivic coproduct of Aomoto polylogarithms. We define cohomological and combinatorial tools to compute these cohomology groups, which recast classical objects such as the Orlik-Solomon algebra in a global setting.