Analyse harmonique et fonctions d'ondes sphéroïdales

Harmonic analysis and spheroidal wave functions

• Auteur / Autrice : Issam Mehrzi
• Direction : Jacques Faraut, Abderrazek Karoui
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 20/02/2014
• Etablissement(s) : Paris 6 en cotutelle avec Faculté des sciences de Bizerte (Tunisie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Habib Marzougui
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sami Mustapha
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Dominique Bakry, Michael Voit, Néjib Ben Salem

Mots clés

Mots clés contrôlés

WKB, Approximation

Fredholm, Opérateurs de

Mots clés libres

Ensemble Unitaire Gaussien

Fonctions d'onde sphéroïdales

Opérateur de Legendre perturbé

Translations généralisées

Méthode WKB

Fonctions de B

Legendre differential operator

WKB method

Résumé

Notre travail est motivé par le problème de l'évaluation du déterminant de Fredholm d'un opérateur intégral. Cet opérateur apparait dans l'expression de la probabilité pour qu'un intervalle [?s, s] (s > 0) ne contienne aucune valeur propre d'une matrice aléatoire hermitienne gaussienne. Cet opérateur commute avec un opérateur différentiel de second ordre dont les fonctions propres sont les fonctions d'ondes sphéroïdales de l'ellipsoïde alongé. Plus généralement nous considérons l'opérateur de Legendre perturbé. Nous montrons qu'il existe un opérateur de translation généralisée associé à cet opérateur. En?n, par une méthode d'approximation des solutions de certaines équations différentielles, dite méthode WKB, nous avons obtenu le comportement asymptotique des fonctions d'ondes sphéroïdales de l'ellipsoïde alongé Il s'exprime à l'aide des fonctions de Bessel et d'Airy. Par la même méthode nous avons obtenu le comportement asymptotique des fonctions propres de l'opérateur dfférentiel d'Airy.

Our work is motivated by the problem of evaluating the Fredholm determinant of an integral operator. This operator appears in the expression of the probability, for a random matrix in the Gaussien Unitary Ensemble, to have no eigenvalue in an interval [?s, s]. This operator commutes with a differential operator wich have the spheroidal wave functions as eingenfunctions. More generally, we consider the perturbated Legendre differential operator. We show that there exists a generalized translation operator associated to the perturbated Legendre dfferential operator. Finaly, by using the WKB method, we have determined the asymptotic behavior of the prolate spheroidal wave functions. This asymptotic behavior involves Bessel and Airy functions. By using the same method, we have obtained similar results for asymptotic behavior of the eigenfunctions of the Airy differential operator.